Теорема Пойнтинга для комплексных амплитуд

Для важного в практическом отношении частного случая, когда поле изменяется во времени по гармоническому закону, вектор Пойнтинга может быть выражен через комплексные амплитуды полей и , поскольку

Здесь индекс * обозначает комплексно сопряженные величины. Подставляя выражения для и в формулу для вектора Пойнтинга , будем иметь

Первое слагаемое в правой части неизменно во времени, а второе изменяется во времени с удвоенной частотой.

Таким образом, процесс переноса энергии в электромагнитном поле, изменяющемся во времени по гармоническому закону, характеризуется, с одной стороны, вещественным вектором

,

равным средней за период плотности мощности излучения, и вещественным вектором

,

который указывает на существование колеблющейся составляющей вектора Пойнтинга. Следует иметь в виду, что среднее за период значение вектора равно нулю.

Ассоциация вектора Пойнтинга с процессом переноса электромагнитной энергии от источника, например, антенны, к любым другим сколь угодно удаленным точкам не всегда верна. Физический опыт и теоретическое рассмотрение на основе уравнений Максвелла позволяют утверждать, что в узком смысле слова термин «излучение» применим лишь к переменным во времени процессам в силу волнового характера распространения электромагнитного поля. Тем не менее, введенный вектор Пойнтинга позволяет правильно описать процесс передачи электромагнитной энергии в системах с неизменными во времени полями. В качестве примера на изображен эскиз двухпроводной линии передачи, в которой энергия от источника постоянной ЭДС передается к резистивной нагрузке.

Рисунок 40 − Передача энергии электромагнитного поля от генератора к нагрузке

Из рисунка следует, что в каждой точке пространства может быть построен отличный от нуля вектор Пойнтинга , ориентированный вдоль оси линии передачи от генератора к нагрузке. Если проинтегрировать вектор Пойнтинга по поперечной плоскости в бесконечных пределах, то в результате будет получена величина переносимой мощности, выраженная в электротехнических терминах как произведение напряжения на нагрузке на силу протекающего тока. Вывод, следующий отсюда, может показаться несколько неожиданным: с точки зрения электродинамики, энергия в данной системе переносится не токами, текущими в проводниках, а электромагнитным полем в окружающем пространстве. Наличие проводников и токов в них выступает лишь как необходимое условие существования полей требуемой конфигурации.