Третье уравнение Максвелла

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Закон Гаусса связывает поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность с зарядом , сосредоточенным внутри нее:

,

так как , то

.

До Максвелла этот закон рассматривался только в применении к постоянным полям. Максвелл предположил, что это равенство справедливо и в случае переменных полей. Для заряда, распределенного внутри объема , который окружает поверхность :

,

подставляя это значение в закон Гаусса, получим

Это выражение называют третьим уравнением Максвелла в интегральной форме. Для перехода к дифференциальной форме используем теорему Остроградского-Гаусса:

Преобразуем левую часть третьего уравнения Максвелла в соответствии с теоремой:

.

Это равенство должно выполняться при произвольном объеме , что возможно только в том случае, если

.

Из третьего уравнения Максвелла следует, что источником или стоком векторного поля является плотность объемного электрического заряда, линии вектора начинаются в точках, где и заканчиваются в точках, где .

Координатная форма третьего уравнения для декартовой системы координат

.