Метод релаксаций
Пусть дана система: (3.1)
Преобразуем эту систему следующим образом: перенесем свободные члены налево и разделим первое уравнение на , второе – на и т.д. Тогда получим систему, приготовленную к релаксации: , где и .
Пусть - начальное приближение решения системы. Подставляя эти значения в систему, получим в правых частях уравнений системы некоторые числовые значения . Будем называть их невязками. Невязки обращаются в нуль при подстановке корней в уравнения системы
.
Если одной из неизвестных дать приращение , то соответствующая невязка уменьшится на величину , а все остальные невязки увеличатся на величину . Таким образом, чтобы обратить очередную невязку в нуль, достаточно величине дать приращение и мы будем иметь и
Суть метода заключается в том, чтобы на каждом шаге обращать в нуль максимальную по модулю невязку, изменяя значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки преобразованной системы будут равны нулю с заданной степенью точности.
Пример3.1: Пусть дана линейная система. Решить с точностью 0.01.
.
Приведем систему к виду, удобному для релаксации:
.
Выбирая в качестве начальных приближений корней нулевые значения , находим , , .
Согласно общей теории полагаем: . Отсюда получаем невязки
Далее полагаем
Суммируя все приращения получим значения корней:
Удобно располагать вычисления в таблице:
x1 | R1 | x2 | R2 | x3 | R3 |
0.93 | .60 0.16 | 0.86 | 0.70 0.16 | 0,80 0.18 | 0.80 -0.80 |
0.76 0.17 | 0.86 -0.86 | 0.09 | |||
0.93 -0.93 | 0.13 | 0.09 | 0.09 0.09 | ||
0.07 | 0.04 | 0.09 0.04 | 0.18 -0.18 | ||
0.04 0.03 | 0.13 -0.13 | 0.02 | 0.01 | ||
0.07 -0.07 | 0.01 | 0.01 | 0.01 0.01 | ||
0.01 | 0.02 -0.02 | ||||
0.01 -0.01 | |||||
1.00 | 1.00 | 1.00 |
Ответ:
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 605;