Метод итераций для систем нелинейных уравнений
Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными:
и требуется найти действительные корни системы с заданной степенью точности.
Предположим, что система допускает лишь изолированные корни. Число этих корней и их приближенные значения можно установить, построив кривые 
, 
и определив координаты их точек пересечения.
Для применения метода итераций система приводится к виду:
Функции 
и 
называются итерирующими. Алгоритм решения задается формулами
,
где 
и 
- некоторое начальное приближение.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 4.1 Пусть в некоторой замкнутой окрестности 
имеется одно и только одно решение 
системы. Если:
1. функции 
и 
определены и непрерывно дифференцируемы в R,
2. начальные приближения 
, 
и все последующие приближения, xn ,yn для n=1,2… принадлежат R,
3. в R выполнены неравенства
,
то процесс последовательных приближений сходится к решению системы, т.е.
.
Эта теорема останется верной, если условие 3 заменить условием
Оценка погрешности n-го приближения дается неравенством
, (4.2)
где M – наибольшее из чисел 
, входящих в неравенства. Сходимость метода итераций считается хорошей, если 
, при этом 
.
| Пример 4.3 Решить нелинейную систему уравнений методом итераций в Mathcad с точностью 0,005
Пусть дана система
|
| Выразим из первого уравнения х, а из второго у и перепишем данную систему в виде:
|
Отделение корней произведем графически. Построим функции 
и 
на одном графике. Они имеют одну точку пересечения в области
D(0 < x < 0.25; -1.9 < y < -2.2) . Выберем за начальное приближение для метода итераций x0 = 0.25, y0 = -1.9
| Проверим условие сходимости теоремы в области D(а < x < b; c < y < d)
|
|
Считать будем до тех пор, пока не достигнем нужной точности
|
|
В данном случае метод итераций сходится достаточно медленно, так как значение М близко к единице
Ответ: x=0.151 y=-2.034
|
Рис.4.3. Решение примера 4.3 в Mathcad
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 649;
