Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений
Пусть дана система
Согласно методу Ньютона последовательные приближения вычисляются по формулам
,
,
где , ,
а якобиан
.
Начальные приближения и определяются приближенно (графически и т.п.).
Метод Ньютона эффективен только при достаточной близости начального приближения к решению системы.
Пример 4.1 Решить нелинейную систему уравнений в Mathcad с пятью верными знаками после запятой.
Преобразуем систему, выразив х из обоих уравнений.
Левые части уравнений исходной системы зададим в виде функций пользователя с двумя переменными.
Правые части преобразованной системы зададим в виде функций пользователя от переменной y. Построим их на графике.
Точка пересечения кривых на графике лежит в прямоугольнике 1.5<x<1.75 ;1.1<y<1.3. За начальное приближение корней системы примем x=1.7 и y=1.3 |
Вычисления с помощью встроенных функций Mathcadа |
Ответ: x=1.23427 y=1.66153
Ответ: x=1.23427 y=1.66153
Рис.4.1. Решение примера 4.1 в Mathcad
4.2. Распространение метода Ньютона на системы из n уравнений с n неизвестными
Рассмотрим нелинейную систему уравнений
(4.1)
с действительными левыми частями.
Можно записать систему в более компактном виде:
,
где , а .
Для решения системы будем пользоваться методом последовательных приближений.
Предположим, что найдено приближение на шаге p
,
где - поправки (погрешность корня).
Введем в рассмотрение матрицу Якоби системы функций относительно переменных :
Если эта матрица неособенная, т.е. , то поправка выражается следующим образом:
,
где - матрица, обратная матрице Якоби.
Таким образом, последовательные приближения находятся по формуле:
.
За нулевое приближение можно взять приближенное значение искомого корня.
Пример 4.2 Решить систему из примера 4.1
в Mathcad в векторной форме.
Левые части системы зададим векторной функцией |
J(x,y) это якобиан системы |
Ответ: x=1.23427 y=1.66153
Рис.4.2. Решение примера 4.2 в Mathcad
Дата добавления: 2015-10-09; просмотров: 1160;