Лекция. Түйіндес операторлар. Өз-өзіне түйіндес операторлар. Ортогонал проектрлеу операторы

Егер гильберт кеңістігі Н-та анықталған сызықтық операторларды қарастырсақ, онда нақты жағдайда Н пен Н^/ бірдей болатындықтан және ондағы элементтердің скаляр көбейтіндісі болатынын пайдаланып, айрықша қасиетті симметриясы бар (немесе) өзі түйіндестік қасиеті деп аталатын операторлар класын ажыратуға болады және осы класстың операторларын еркін банах кеңістігінде берілген еркін сызықтық операторларға қарағанда тереңірек зерттеу керек.

Н – комплекс гильберт кеңістігі және t Н-та анықталған және осы кеңістіктегі мәндерге ие болатын шектеулі сызықтық оператор болсын делік. Н-та берілген скаляр көбейтінді бойынша t-ға түйіндес t* операторын барлық үшін

(1)

теңдігі бойынша анықтаймыз.

1-анықтама. Сызықтық шектеулі t операторы егер

(2)

болса, онда шектеулі өзі түйіндес (немесе Эрмит симметриялы) оператор деп аталады.

Мысалдар. 1. дегі ядросы Фредгольм операторына түйіндес оператор болып ядросы болатын Фредгольм операторы болып есептеледі. Өзі түйіндестік шартының түрі Нақты ядро жағдайында бұл шарт симметриялық шартына көшеді.

2. дегі әрбір функциясына функциясына сәйкес қоятын t операторын құрайық. Бұл оператор өзі түйіндес екеніне көз жеткізу қиын емес.

Бұдан әрі «шектеулі» деген сөзді біз қалдырып кетеміз. Алдыңғыдан, егер t - өзі түйіндес оператор және α-нақты сан болса, онда αt-да өзі түйіндес оператор, және егер t мен u - өзі түйіндес операторлар болса, онда u+t - өзі түйіндес, ал tu сонда, тек сонда ғана өзі түйіндес, егер t мен u операторы ауыстырымды болса. Ең соңында, егер бірқалыпты немесе күшті операорлық топология мағынасында жинақты болса, онда t-да өзі түйіндес оператор болады.

Егер ті х бойынша және у бойынша функционал болса, мұнда t - өзі түйіндес оператор, онда біз деп белгілейтін осы функционал келесі шарттарды қанағаттандыратын көру қиын емес:

Ондай функционалды біз бисызықты Эрмит формасы деп атаймыз. Бұл форма мағынасында шектеулі, мұнда С_t – кейбір тұрақты (қарастырған жағдайда ).

Сонымен, әрбір өзі түйіндес t операторы кейбір шектеулі бисызықты Эрмит формасын тудырады.

Керісінше, егер шектеулі бисызықты Эрмит формасы берілсе, онда ол теңдігін қанағаттандыратын кейбір өзі түйіндес t операторын тудырады.

Іс жүзінде, формасында у элементін белгілеп, біз х-тен сызықтық функционал аламыз. Сонымен мұнда у^/ элементі бірмәнді анықталады. Сонда, біз теңдігімен анықталатын және болатындай t операторын аламыз. t – сызықтық оператор екені айқын. t – шектеулі оператор екеніне оңай көз жеткізуге болады. Расында да

деп және ке қысқартып екенін табамыз. t - өзі түйіндес оператор екенін көрсетеміз. Кез келген үшін

бұдан және екені шығады.

Енді бисызықты Эрмит формасын аламыз және онда делік. Барлық х-тер үшін нақты мәндер алып

болатындай квадрат формасын аламыз. Сондай формасын бисызықты Эрмит формасына сәйкес квадраттық Эрмит формасы деп атаймыз. Егер бисызықты Эрмит формасы берілсе, онда сол арқылы сәйкес квадраттық Эрмит формасы беріледі. Кері жағдай да ақиқат, квдарттық Эрмит формасы берілуі бисызықты Эрмит формасын бірмәнді анықтайды. Бұл бисызықты форма келесі теңдікпен анықталады (полярлау принципі)

(3)

мұнда және

Квадраттық Эрмит формасы сонда, тек сонда ғана шектеулі болады, яғни егер сәйкес бисызықты форма шектеулі болса ғана екенін көрсету қиын емес. формасы үшін полярлық деп аталады.

болсын делік.

m және М сандары өзі түйіндес t операторының төменгі және жоғарғы шекарасы деп аталады.

екенін көрсетейік.

Іс жүзінде, болсын делік. Сонда

(4)

және сондықтан

Басқа жағынан, кез келген үшін болады. Сондықтан, егер z Н-тағы нөлден ерекше элемент болса, онда

деп

екенін аламыз, бұдан және содан

(5)

(4) және (5) теңсіздіктерінен керекті теңдікті аламыз. Дәлелденген бойынша, жеке жағдайда, егер барлық үшін өзі түйіндес t мен u операторлары теңдігі орындалса, онда

Лекция. Сызықты оператордың меншікті мәндері мен меншікті векторлары. Әсіре үзіліссіз оператордың меншікті мәндері мен меншікті векторлары

Е – сызықтық кеңістік және t Е-де әсер ететін, анықталу облысы D(t) болатын сызықтық оператор болсын делік.

1-АНЫҚТАМА. Егер

(1)

болатындай векторы бар болса, онда λ t-операторының меншікті мәні деп аталады. Мұнда х векторы меншікті λ мәніне сәйкес t операторының меншікті векторы деп аталады.

1-тұжырым. Сызықтық операторлардың әртүрлі меншікті мәндеріне жауап беретін меншікті векторлар сызықты тәуелсіз.

Дәлелдеме. Сызықтық операторлардың меншікті λ₁ мәніне жауап беретін сызықтық операторлардың бір меншікті х₁ векторы сызықты тәуелсіз, себебі Дәлелдеуді индукция бойынша жүргіземіз t операторының әртүрлі меншікті мәндеріне сәйкес кез келген k меншікті векторлары сызықты тәуелсіз болсын делік. Сонда да, егер болса, болатын меншікті мәндеріне жауап беретін меншікті векторлары сызықты тәуелді деп жориық. Онда, нөлге біруақытта тең болмайтын және

(2)

болатындай скалярлары табылады. Бұл теңдікке операторын қолдана отырып

екенін аламыз. Бірақ индукциялық жору бойынша сызықты тәуелсіз және сондықтан

Бұдан себебі үшін (2) бойынша Бұл барлық с_і біруақытта нөлге тең емес дегенімізге қайшы. Сондықтан -дің сызықты тәуелділігі туралы жоруымыз дұрыс емес. Теорема дәлелденді.

Лекция. Сызықты оператордың спектрі және резольвенттік жиын ұғымдары, мысалдар. Резольвента аналитикалық оператор- функция ретінде. Стильтес интегралы және шенелген вариацияның абстракты функциялары

2-АНЫҚТАМА. Егер үшін мәндер облысы -кеңістігінде тығыз және операторының үзілісіз кері операторы бар болса, онда комплекс λ₀ саны t операторының резольвенттік жиынында жатады дейміз.

операторын біз деп белгілеп, t операторының нүктесіндегі резольвентасы деп атаймыз. Резольвенттік жиынына жатпайтын барлық комплекс λ сандарының жиынтығы t операторының спектрі деп аталады. Бұл жиынды біз деп белгілейміз. спектрін қос-қосымен қиылыспайтындай, келесі қасиеттерді қанағаттандыратын, үш жиынға ажыратуға болады.

операторының керісі болмайтындай комплекс сандарының жиыны, t – операторының нүктелік спектрі деп аталады.

операторының анықталу облысы Е-де тығыз кері операторы болатындай ( операторы үзіліссіз емес) комплекс λ сандарының жиыны, t – операторының үзіліссіз спектрі деп аталады.

ның анықталу облысы Е-де тығыз емес болатын кері операторы бар болатындай комплекс λ сандарының жиыны, операторының қалдық спектрі деп аталады.

1 және 2-анықтамалардан t операторының сызықтылығын ескере отырып, келесі ұйғарымдарды қорытамыз.

2-тұжырым. үшін теңдеуінің нөлден ерекше шешімі болуы қажетті және жеткілікті.

ге сәйкес меншікті кеңістік астының өлшемі меншікті мәнінің еселігі деп аталады.

2-ТЕОРЕМА. Е комплекс банах кеңістігі және t анықталу облысы мен мәндерінің облысы Е-де жататын тұйық, сызықтық оператор болсын делік. Сонда кез келген үшін резольвентасы тұтас Е кеңістігінде анықталған үзіліссіз сызықтық операторды көрсетеді.

Дәлелдеме. резольвенттік жиында жататындықтан, жиыны Е-де тығыз, әрі

болатындай тұрақты с саны бар болады.

Біз болатынын көрсетуіміз керек. Кейбір тізбегі үшін шегі бар деп жориық. Сонда жоғарыдағы теңсіздіктен шегі де бар болады. t операторы тұйық болғандықтан Сондықтан, өйткені теореманың ұйғарымы бойынша

3-ТЕОРЕМА. Егер λ және мен операторлары тұтас Е кеңістігінде анықталған және үзіліссіз болса, онда кейде резольвенттік теңдеу деп аталатын гильберт тепе-теңдігі

(2)

әділ.

Дәлелдеме. Тікелей есептеуден шығатыны

4-ТЕОРЕМА. (И.М.Гельфанд). Егер шектеулі сызықтық t операторы комплекс банах кеңістігі Е-ні өзіне бейнелесе, онда

(3)

шегі бар болады. шегі t операторының спектралдық радиусы деп аталады, ол үшін мына баға әділ:

(4)

Егер болса, онда резольвентасы бар болады және операторлар нормасы бойынша жинақталатын

(5)

қатары түрінде көрсетіледі.

Дәлелдеме. делік.

екенін көрсету жеткілікті.

Әрбір үшін болатындай бүтін оң m санын таңдаймыз. Сонан соң, еркін k бүтін саны үшін 2 арқылы (р – бүтін)-ді қанағаттандыратын мәнді белгілейміз. Сонда теңсіздігін пайдаланып, біз

екенін аламыз, үшін және болатындықтан

екені шығады. Бұдан болғанда (5) қатар операторлар нормасы бойынша жинақталады. Іс жүзінде, егер болса, мұнда онда (3) бойынша кез келген жеткілікті мөлшерде үлкен n үшін болады, бұдан (5) қатар жинақты екені көрінеді. Бұл қатарды сол және оң жақтан ға көбейтіп, біз тепе-тең і операторын аламыз, сондықтан резольвентасы расында (5) қатармен көрсетіледі.

Салдар. Кез келген шектеулі сызықтық, банах кеңістігі Е-ні өзіне бейнелейтін t операторы үшін резольвенттік p(t) жиыны бос емес.

5-ТЕОРЕМА. t Е-дегі толығымен үзіліссіз оператор болсын делік. Сонда кез келген үшін комплекс жазықтықтағы (нақты осьтегі) дөңгелегенінен тысқары t операторының тек ақырлы санды меншікті мәндері жатады.

Дәлелдеме. Кері жориық, , бірақ t-ның әртүрлі меншікті мәндерінің тізбегі болатындай табылады делік. 1-тұжырым бойынша сызықты тәуелсіз.

Е-дегі -ге керілген Е_n еңістік астын енгіземіз.

екені айқын, әрі ешбір n үшін емес. Барлық Е_n ақырлы өлшемді және сондықтан тұйық. Перпендикуляр дерлік туралы Рисс теоремасы, 6-лемме, 5-тар бойынша барлық үшін және болатындай векторлар тізбегі табылады.

ді қарайық. шектеулі болғандықтан t толығымен үзіліссіз, онда компактылы. Келесі пайымдаулар компактылы болуы мүмкін еместігін көрсетеді, демек, біздің меншікті мәндердің ақырсыз тізбегі болады деп жоруымыз дұрыс емес, бұдан дәлелденіп отырған теореманың әділдігі шығады.

Сонымен, нің компактылы емес екенін көрсету қалды. белгілеуін енгіземіз. Кез келген үшін

екенін аламыз, мұнда қабылданған белгілеуі айқын. Егер болса, онда себебі дағы базис. Сол себепті

Сонымен, бірақ онда және сондықтан

Бұдан нің компактылы еместігі шығады, с.т.р.

Лекция. Өз-өзіне түйіндес оператордың спектралды функциялары. Кез келген өз-өзіне түйіндес оператордың спектралды функциясының бар болуы. Шенелмеген өз-өзіне түйіндес оператордың спектралды жіктеуі

операторларының үйірін қарайық, мұнда t өзі түйіндес оператор және λ – комплекс сан.

2-тұжырымнан, егер яғни егер болса, онда λ t-операторының регуляр мәні және, сондықтан, t операторының барлық спектрі дөңгелегінің ішінде не шекарасында жатады. Бұл банах кеңістігінде әсер ететін кез келген сызықтық оператор үшін әділ. Гильберт кеңістігінде берілген өзі түйіндес оператор жағдайында біз төменде оператордың спектрі орналасатын облысты дәлірек анықтаймыз.

Егер t өзі түйіндес оператор болса, онда оның барлық меншікті мәндері нақты, себебі теңдігінен екені шығады, мұндағы екі скаляр көбейтінді мен нақты. Әрі қарай, шартынан, меншікті мәндердің нақтылығынан және t мен t*-ның әртүрлі меншікті мәндеріне ортогонал меншікті векторлар сәйкес келетіндігін өзі түйіндес оператордың әртүрлі меншікті мәндеріне сәйкес келетін меншікті элементтер ортогонал екені шығады.

10-теорема. λ нүктесі өзі түйіндес t операторының регуляр мәні болуы үшін кез келген үшін

(1)

болатындай тұрақты оң С санының бар болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеме. Қажеттілігі. Шектеулі және операторы бар болсын делік. Кез келген үшін яғни және қажеттілігі дәлелденді.

Жеткіліктілігі. 1-тұжырымнан шығады.

Салдар. λ нүктесі өзі түйіндес t операторының спектрінде сонда, тек сонда ғана жатады, егер

(2)

болатындай тізбегі бар болса.

(2) теңсіздігінде деуге болады, сонда

(3)

11-теорема. комплекс сандары өзі түйіндес t операторының регулятор мәндері болады.

Дәлелдеме. Іс жүзінде, егер болса, онда Бұдан

немесе

және, демек,

яғни (4)

Сондықтан 10-теорема бойынша осы теореманың да дәледемесі шығады.

12-теорема. Өзі түйіндес t операторының спектрі сан осінің кесіндісіне жатады, мұнда

Дәлелдеу барысында теоремадан спектр тек нақты осьте ғана жата алады. кесіндісінен тысқары жатқан нақты λ-лар регуляр мәндер болатынын көрсетейік. Мысалға, болсын делік. яғни Басқа жағынан, Сондықтан, Бұдан 10-теорема бойынша, λ мәндерінің регулярлығы шығады.

жағдайы осыған ұқсас қарастырылады.

13-теорема. Мысалға, М үшін дәлелдейік. Егер t операторын операторына алмастырсақ, онда спектр солға қарай μ-ге жылжиды, ал М және m саны М-μ мен m-μ –ге алмасатынын байқаймыз. Біз, пайымдаудың жалпылығын төмендетпей, деп санай аламыз. Бұл жағдайда, §3-тің соңында көрсетілгендей М – спектрдің нүктесі екенін дәлелдейік.

Іс жүзінде, санының анықтамасынан үшін болатындай элементтерінің тізбегі бар болады. Әрі қарай, немесе Сонымен, Сондықтан, 10-теореманың салдарынан М саны t операторының спектрінде жатады. Осыған ұқсас, m t-операторының спектріне жататыны дәлелденді.

Салдар. Әрбір өзі түйіндес оператордың бос емес спектрі бар.

Егер -ден шығатын болса, онда Н кеңістігінің t операторының инвариант кеңістікасты деп аталады. Инвариант кеңістікастының мысалын келтірейік. λ t-операторының меншікті мәні және N_λ осы меншікті мәнге сәйкес, нөл элементі қосылған, меншікті элементтердің жиынтығы болсын делік. теңдігі бойынша дан шығатындықтан N_λ –инвариант кеңістікасты болады.

Егер L t – операторының инвариант кеңістікасты болса, онда L е-ны жетектейді дейді. Өзі түйіндес операторлардың инвариант кеңістерінің қасиеттерін келтірейік.

3-тұжырым. L-дің инварианттылығынан оның ортогонал толықтауышының да инварианттығы шығады.

Дәлелдеме. болсын делік. Бұл кез келген үшін екенін білдіреді. Бірақ үшін те L-де жатады, сондықтан Бұдан t-ның өзі түйіндестігінен кез келген үшін екенін аламыз. Содан, С_λ арқылы t_λ операторы мәндерінің облысын белгілейміз, яғни түріндегі элементтердің жиынтығы, мұнда λ – меншікті мән.

4-тұжырым. t операторы мәндерінің облысының тұйықтамасы өзі түйіндес t операторының инвариант кеңістікасты болады.

Дәлелдеме. 3-тұджырым бойынша ұйғарымды дәлелдеу үшін екенін дәлелдеу жеткілікті. Соңғы жағдай келесі пайымдаулардан шығады. Кез келген және үшін

Сондықтан, Егер және болса, онда мұнда . теңдігінен екенін аламыз. Сондықтан Енді кез келген үшін екенін аламыз, бұдан яғни Сондықтан,

N арқылы барлық N_λ кеңістікастыларының ортогонал қосындысын немесе соған пара-пар t операторының барлық меншікті элементтерінің тұйық сызықтық қабығын белгілейміз. Егер Н сепарабелді болса, онда әрбір N_λ –да меншікті мәндердің ақырлы немесе санақты ортонормаланған толық системасын құруға болады. Әртүрлі N_λ-дағы меншікті элементтер ортогонал болатындықтан, онда осы системаларды біріктіріп біз тағы да N-кеңістігінде толық, меншікті элементтерінің ортонормаль системасын аламыз.

t операторы инвариант L кеңістікастында операторын анықтайды, атап айтқанда, үшін дағы өзі түйіндес оператор екенін тексеру қиын емес.

5-тұжырым. Егер инвариант L және М кеңістікастылары өзді-өзіне ортогонал толықтауыштар құраса, онда t операторының спектрі мен операторының жиындық-теориялық қосындысы анықталады.

Дәлелдеме. λ немесе операторының спектр нүктесі болсын делік. Сонда болатындай элементтерінің тізбегі бар болады. Бірақ сондықтан λ t-операторының спектріне жатады.

Енді λ операторының да, операторының да спектріне жатпасын делік. Сонда кез келген және үшін

болатындай оң сан бар болады. Бірақ кез келген элементі түрінде болады. Бұдан

Сонымен, λ спектр нүктесі емес.

Сонымен, біз Н кеңістігін екі кеңістіктің: өзі түйіндес t операторының барлық меншікті векторлар жиынының тұйық сызықтық қабығының N кеңістігі мен оның ортогонал С толықтауышының ортогонал қосындысы деп көрсетуге болатынын көреміз. N кеңістігі операторының инвариант кеңістікасты болады, демек t операторының спектрі және операторлары спектрлерінің жиындық-теориялық қосындысы болады. операторының спектрі t операторының нүктелік спектрі деп аталады. операторының спектрі t операторының үзіліссіз спектрі деп аталады. Егер M=N болса, онда үзіліссіз спектр болмайды және t операторының мүлдем нүктелік спектрі болады, ондай спектрдің толығымен үзіліссіз операторы болады. Егер оператордың меншікті элементтері болмаса, онда N кеңістікасты бос, H=C және t операторының спектрі мүлдем үзіліссіз.

Егер t операторының мүлдем нүктелік спектрі болса және меншікті λ_n мәндеріне сәйкес, меншікті элементтердің ортонормаль системасы болса, онда

(5)

(6)

екенін дәлелдеуге болады, мұнда π_n теңдігімен анықталатын проекциялық оператор.

14-теорема. Егер t-операторының спектр нүктесі болса, онда болатындай элементтердің тізбегі бар болады, бұдан деп екенін аламыз. t операторы тізбегін компактылы тізбегіне түрлендіреді. Сондықтан жинақты тізбегі бар болады, сонымен қатар

(7)

тізбегі де жинақталады. болсын делік. Сонда болады, әрі қарай, сондықтан (7) теңдіктен немесе екені шығады. Онда Сондықтан, х – меншікті вектор, ал λ t – операторының меншікті мәні болады.

1-салдар. Әрбір өзі түйіндес толығымен үзіліссіз оператордың ең болмаса бір меншікті мәні болады.

Бұл тұжырым қазір ғана дәлелденген теоремадан және 1-теореманың салдарынан шығады.

2-салдар. Өзі түйіндес толығымен үзіліссіз t операторының әрбір нөлден ерекше инвариант L кеңістікасты оның меншікті векторын ұстайды.

Дәлелдеме. t-мен бірге операторы да толығымен үзіліссіз. Бұл оператор 1-салдар бойынша меншікті λ_j мәніне ие болады, сондықтан, L-де операторының, ал онда t операторының да меншікті векторы бар болады.

3-салдар. Өзі түйіндес толығымен үзіліссіз оператордың мүлдем нүктелік спектрі болады.

Дәлелдеме. Іс жүзінде, барлық меншікті векторларға инвариант С кеңістікасты болады. Кері жағдайда, ол 2-салдар бойынша меншікті векторды ұстауға тиіс болар еді. Бұл анықтамаға қайшы.

15-теорема. Өзі түйіндес толығымен үзіліссіз t операторының меншікті мәндерінің жиынының тең бір ғана шектік нүктесі болады.

Дәлелдеме. Егер болатындай әртүрлі меншікті мәндерінің ақырсыз тізбегі бар болса, онда сәйкес меншікті векторлары үшін олардың ортонормальдылығынан болғанда қатынасы шығады. Бірақ бұл жағдайда тізбегі компактылы болмас еді. Бұл t операторының толық үзіліссіздігіне қайшы.