Гильберт кеңістігінің ішкі жиынына дейінгі арақашықтық.

Н Гильберт кеңістігі, М оның кейбір ішкі жиыны болсын.

санынх элементіненМ жиынына дейінгі арақашықтық дейді.

2-теорема.Н -Гильберт кеңістігі, L оның кез-келген ішкеңістігі болсын. Кез-келген элементі үшін L ішкеңістігінің жалғыз y элементі табылып, болады.

3-теорема.Н -Гильберт кеңістігі, L оның кез-келген ішкі кеңістігі болсын. Егер " элементі үшін $yÎL , болса, онда

болады.

2-мысал. кеңістігінің элементінен ішкеңістігіне дейінгі арақашықтықты табыңыз.

Шешуі. кеңістігіне тиісті болған элементін қарастырайық.Егер кейбір вектор L жиынына тиісті болса, онда

болуы қажет. Шынында да,

Демек, векторының L жиынына тиісті болуы шарты .Олай болса, z₀ ^ L. Осы жерде L кеңістігіне ортогонал болатын L^{^} жиынында анықтап кетейік.Анықтама бойынша L^{^}={yÎ : " xÎ L: (x,y)=0 }.

Бұл жиын L^{^}={yÎ : y=a z₀, aÎR} болатыны айқын.

Лекция. Сызықтық оператор анықтамасы, өзара бірмәнді, суперпозициялы операторлар . Сызықты оператордың үздіксіздігі, шенелгендігі, нормасы. Интегралды және дифференциал операторлар. Нормаланған сызықты операторлар кеңістігі. Сызықты және нормаланған кеңістіктегі кері операторлар

Н₁ және Н₂ – гильберт кеңістіктері болсын делік. Егер барлық үшін

(1)

болса, онда Н₁-ден Н₂-ге дейін t операторы изометриялық деп аталады. Бұл теңдігіне эквивалентті және сондықтан

(2)

болады. Бұдан шығатыны

(барлық үшін) (3)

Егер t операторының бейнесі тұтас Н₂-мен бірдей болса, онда изометриялық оператор унитар оператор деп аталады. (1) шартынан t операторының өзара бірмәнділігі шығатындықтан Н₁-дан Н₂-ге деген унитар оператордың бар болуының қажетті және жеткілікті шарты болып Н₁ мен Н₂ кеңістіктері өлшемдерінің бірдейлігі табылады. Керісінше, егер болса, онда Н₁-ден Н₂-ге деген кез келген изометриялық оператор унитар болады. Ақырсыз өлшемді кеңістіктер үшін бұл ұйғарым, әрине, әділ емес.

Гильберт кеңістігі Н-тағы симметриялық және унитарлық операторлар нормальдық операторлардың дербес жағдайы болып табылады. Егер t мен t* ауыстырымды болса

(4)

онда операторы нормальдық деп аталады.

Бұл қасиет келесіге эквивалентті:

барлық үшін (5)

Нормальдық операторлардың маңызды қасиеті мынау:

(6)

Бұдан, жеке жағдайда, спектралдық радиус

(7)

(6) формуланың дәлелдемесін біз симметриялық t операторының жеке жағдайынан бастаймыз. Алдымен ескертеніміз

(8)

Расында да, болатындықтан

Басқа жағынан, болатындықтан Осылайша, , t² симметриялы болатындықтан Осыған ұқсас пайымдап (6) теңдігі үшін әділ екенін көреміз. t операторы нормальдық, бірақ міндетті түрде симметриялық емес деп жориық. (8)-ді тағы қолданып екенін аламыз. Бірақ (4) бойынша және операторы симметриялық, онда үшін Осыдан (6) үшін дәлелденді. Кез келген n жағдайы үшін болатындай m-ді сайлаймыз. (6) формула үшін әділ болатындықтан бұдан Қарама-қарсы теңсіздік айқын болған себепті (6) теңдік дәлелденді.

Симметриялық операторлардың маңызды мысалы болып, ортогонал проектор немесе проекциялық оператор табылады. L H-кеңістігінің кеңістік асты болсын делік. Бенио Леви теоремасы бойынша кез келген элементін түрінде бірмәнді көрсетуге болады, мұнда деп тұтас Н-та анықталған мәндерінің облысы L кеңістік асты болатын кейбір операторды аламыз. Бұл оператор проекциялық оператор (немесе L – кеңістікастының үстіне ортогонал проекциялау операторы) деп аталады және ол да деп белгіленеді. операторы нормасы бірге тең өзі түйіндес оператор және шарты идемпотентті қанағаттандырады.

Бәрінен бұрын, π сызықтық оператор, із жүзінде, егер және мұнда ал болса, онда мұнда бұдан Әрі қарай у пен z-тің ортогоналдығынан, Сондықтан, яғни кез келген х үшін Бұдан болғандықтан және сол себепті, онда

π - өзі түйіндес оператор екенін көрсетейік. х₁ мен х₂ тағы екі элемент, у₁ пен у₂ олардың L-дің үстіне проекциясы болсын делік. екенін аламыз. Осыған ұқсас, Сондықтан, Ең соңында, кез келген үшін Сол себепті кез келген үшін яғни

Кері ұйғарым да, анығында, кез келген өзі түйіндес идемпотенттік π операторы кейбір L кеңістік үстіне ортогонал проекциялау операторы екені де әділдігін көрсетейік. түріндегі элементтердің L жиынын қарайық. Мұнда х тұтас Н-ты түгендейді. π операторының аддитивтілігі мен біртектілігі бойынша жиыны сызықтық көп бейне болады. L тұйық екенін оңай көрсетуге болады. Іс жүзінде болсын делік. болғандықтан кейбір үшін Сондықтан π операторының үзіліссіздігі нәтижесінде, - ден шығады. теңдігін ескеріп екенін аламыз. Сондықтан, және

π операторының өзі түйіндестігі мен шартынан шығатыны яғни Енді L кеңістікастының өзінің анықтамасынан π осы кеңістікасты үстіне проекциялау операторы екені шығады және дәлелдеу керегі осы еді. L сондай, тек сондай, болатындай нүктелерінен тұратынын ескертеміз.

Дәлелденген, жеке жағдайда, π мен бірге і-π-да проекциялық оператор екені шығады.

Проекциялық операторлардың кейбір қарапайым қасиеттерін атайық. Егер болса π₁ мен π₂ екі проекторы ортогонал деп аталады. Бұл шарт шартына пара-пар, себебі егер болса, онда және керісінше.

π₁ мен π₂ проекторлары ортогонал болуы үшін сәйкес L₁ және L₂ кеңітік астылары ортогонал болуы қажетті және жеткілікті.

Іс жүзінде, егер болса, онда үшін

Керісінше, егер болса, онда кез келген үшін болады және сондықтан яғни

3-лемма. және екі проекторының қосындысы проектор болуы үшін осы операторлардың ортогонал болуы қажетті және жеткілікті. Егер осы шарт орындалса, онда бұдан

Жеткіліктілігі болсын делік. Сонда Сол себепті проекциялық оператор. шарты бойынша L₁ және L₂ кеңістікастылары ортогонал. Егер болса, онда

(9)

Егер, әрі қарай, дегі элемент болса, онда теңдіктерін ескеріп, алатынымыз

(10)

(9) бен (10) теңдіктерінен π дің үстіне проекциялық оператор екені шығады.

4-лемма. және проекциялық екі оператордың көбейтіндісі проекциялық оператор болуы үшін және операторлары ауыстырымды болуы қажетті және жеткілікті. Егер осы шарт орындалса, онда

Дәлелдеме. Қажеттілігі. өзі түйіндес оператор болса, онда

Жеткіліктігі. Егер болса, онда өзі түйіндес оператор. Сонымен қатар,

және сондықтан π – проекциялық оператор.

х Н-тағы кез келген элемент болсын делік. Сонда L₁-ге де, L₂-ге де, яғни де жатады.

Енді болсын делік. Сонда Осының бәрі π - нің үстіне проекциялық оператор екенін білдіреді.

Егер болса, онда проекциялық π₂ операторы проекциялық операторының бөлігі деп аталады. Түйіндес операторға көшу арқылы бұл анықтаманың анықтамасына пара пар екеніне сенеміз. Анықтамадан тікелей шығатыны операторы операторының сонда, тек сонда ғана бөлігі болады, егерде L₂ кеңістікасты L₁ кеңістікастынығ бөлігі болса ғана.

проекциялық операторы проекциялық операторының бөлігі болуына барлық үшін теңдігі орындалуы қажетті және жеткілікті.

Іс жүзінде, тен шығатыны

Керісінше, егер осы шарт орындалса, онда кез келген үшін екенін аламыз және теңсіздігі де әділ болатындықтан . Сол себепті, кез келген үшін және, демек, яғни дәлелдеу керегі осы еді.

5-лемма. Екі проекциялық оператордың айырымы сонда, тек сонда ғана проекциялық болады, егер дің бөлігі болса. Егер осы шарт орындалса, онда дегі ге ортогонал толықтауыш болады.

Дәлелдеме. Қажеттілігі. Егер проекциялық оператор болса, онда де проекциялық оператор. Бірақ онда 3-лемма бойынша яғни

Жеткіліктілігі. дің бөлігі болсын. Сонда және ортогонал, әрі 3-лемма бойынша проекциялық оператор, және, содан, операторы да проекциялық. шартынан ең соңында мен ортогонал екені шығады. Бірақ онда сол 3-лемма бойынша