Лекция. Оператордың графигі және тұйықталған операторлар. Хан-Банах теоремасы және оның салдары

Өзі түйіндес операторды және тұйықтама операциясын әрі қарай зерттеу мақсатымен оператордың графигі ұғымын енгіземіз.

Гильберт кеңістігі -тың екі данасын қарайық және осы кеңістіктердің тура қосындысы болсын делік, яғни сызықтық операциялардың кәдімгі анықтамларымен анықталған қосақтар жиынтығы. Әрі қарай үшін осы элементтердің скаляр көбейтіндісін теңдігі көмегімен анықтаймыз. Скаляр көбейтіндінің барлық қасиеттері орындалатын тексеру қиын емес. Гильберт кеңістігінің қалған аксиомалары да түгел орындалады. Сондықтан, -та гильберт кеңістігі болады.

Егер H кеңістігінде сызықтық A операторы берілсе, онда түріндегі элементтердің жақын, бұрынғыша, A операторының графигі деп атаймыз. A операторымен бірмәнді анықталатын сызықтық көпбейне екенін оңай көруге болады. Керісінше егер A және B екі операторы үшін болса, онда A=B болады. Ең соңында A операторы тұйық болуы үшін H кеңістігінің тұйық кеңістікасты болуы қажетті және жеткілікті екенін тексеру қиын емес. -та теңдігімен анықталатын операторын қарайық.

және екeні түсінікті, содан яғни -унитар оператор

1-Лемма. Егер A бар жерде тығыз сызықтық D(A) көпбейнесінде анықталған кез-келген сызықтық оператор болса, онда сызықтық көпбейнесіне ортогонал толықтауыш болады.

Дәлелдеме. босын делік. Бұл <( ),{ }> =0 екенін білдіреді. Бұдан және , сондықтан, және яғни .

Пайымдауларды кері тәртіпте қайталап, -тен осы элементтің -дағы кез-келген элементке ортогонал екенін аламыз және лемме дәлелденді.

3-теoрема, Егер A H -та бар жерде тығыз D(A) жиынында анықталған тұйық оператор болса онда -да бар жерде тығыз және бірмәнді анықталған. Әрі .

Дәлелдеме. A тұйық болатындықтан Cz(A) тұйық сызықтық көпбейне болады және, демек, -да тұйық. Сондықтан

/3/

Теңдіктің екі бөлігіне де унитар операторын қолданып, және, біріншіден, және, екіншіден, унитар операторортогонал элементтерді ортогонал элементтерге көшітінін ескере отырып

/4/

екенін аламыз.

Алдымен, бар жерде тығыз екенін көрсетейік. Егер бұлай болмаса, онда -ға ортогонал мүлдем ерекше, бар болады. элементі -ға ортогонал болады, себебі кез-келген үшін

Сондақтан, бұдан . Алынған қайшылық біздің ұйғарымымызды дәлелдейді.

бар жерде тығыз болғандықтан A^** бірмәнді анықталады. A^** =A теңдігін дәлелдеу үшін /4/ қатынасты және лемманы пайдалану жеткілікті.

4-теорема. A^** операторы сонда, тек сонда ғана бар болады, егер бар жерде тығыз жиында анықталған A операторының тұйықтамасы болса. Бұл жағдайда A^** =A.

Дәлелдеме. Егер A-ның тұйықтамасы болса, онда 3-теорема бойынша бар болады және Бірақ , сондықтан, , бұдан A^** = және теореманың I-бөлігі дәлелденді.

A^** бар болсын делік. /3/-ті A^*-ға қолданып, біз

/5/

екенін аламыз. Басқа жағынан, операторын теңдігінің екі бөлігіне қолдана отырып

екенін аламыз. /5/ пен /6/-ны салыстырудан екені шығады, яғни А-ның тұйық кеңейтілуі болады.

Шектеусіз операторлар үшін тағы инвариант кеңістікасты ұғымын енгізуге болады.

Егер

І/ дан шықса,

ІІ/ барлық үшін шықса/ яғни барлық үшін , онда L кеңістікасты A операторының инвариант кеңістікасты деп аталады.

1/-ден және D(A)-ның H-та тығыздығынан -де бар жерде тығыздығы шығады.

Шектеусіз симметриялы операторлар үшін L-дің инварианттылығынан -дің инварианттылығы шығатынын көрсетейік. Іс жүзінде, және болсын делік, мұнда L- инвариант кеңістікасты болғандықтан және D(A)-сызықтық көпбейне болғандықтан болады.

Әрі қарай, егер және y -деп кез-келген элемент болса, онда себебі және . Сонымен Ax элементі -ге ортогонал, ал бұл көпбейне L-де бар жерде тығыз болғандықтан , бұдан .

Егер L A операторының инвариант кеңістікасты болса, онда біз бұрынғыша L A-ны жетектейді /приводит/ дейміз.

5-теорема. L кеңістікасты симметриялық A операторын сонда, тек сонда ғана жетектейді, егер осы кеңістікасты үстіне проекциялайтын P операторы A-мен ауыстырымды болса.

Дәлелдеме. L-нвариант кеңістікасты болсын делік. Сонда, егер болса, онда және L-дің инварианттылығының 2/ шартынан

/7/

/7/ мен /8/ -ден екені шығады және A-ның шектеулі P операторымен ауыстырымдылығы дәлелденді.

Керісінше, A мен P ауыстырымды болсын делік. Онда, ең алдымен -дан шығады.

Әрі қарай, үшін , яғни және L-дің инварианттылығы дәлелденді.