От знакопеременных функций

Если сходится, то несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся.

1. Если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится.

2. Если интеграл абсолютно сходящийся, а функция g(x) ограничена на промежутке то интеграл также сходится абсолютно.

З а м е ч а н и е 1. Если несобственный интеграл первого рода от знакопеременной функции не сходится абсолютно, то это еще не означает, что он расходится. Для исследования на сходимость данного интеграла необходимо использовать другие признаки, в частности, признак Абеля-Дирихле: пусть функции f (x) и g(x) определены и непрерывны на промежутке причем функция g(x) монотонно стремится к нулю при имеет непрерывную производную а функция f(x) имеет ограниченную первообразную F(x) при Тогда интеграл сходится.

З а м е ч а н и е 2. Всюду далее будем исследовать интегралы на сходимость в смысле определений (21.1), (21.3) и (21.4). В смысле главного значения необходимо исследовать только те примеры, в которых это требуется по условию.

Пример 1. Исследовать на сходимость интегралы:

1) 2) 3) 4)

В случае сходимости вычислить их.

Решение. 1) По определению (21.3) несобственного интеграла имеем:

значит, интеграл сходится.

2) По определению (21.1) несобственного интеграла имеем:

Интеграл расходится, так как первообразная является бесконечно большой функцией на бесконечности.

3) Интеграл расходится, так как функция

не стремится ни к какому пределу при

4) Вычисляем:

Интеграл расходится.

Пример 2. Исследовать, при каких значениях p сходится несобственный интеграл

Решение. По определению (21.1) имеем:

Следовательно, интеграл сходится, если и расходится, если

Пример 3. Вычислить несобственный интеграл первого рода:

1) 2) 3)

4) 5)

Решение. 1) Выделим в знаменателе подынтегрального выражения полный квадрат и представим заданный интеграл в виде суммы двух интегралов:

2) Используем метод поднесения под знак дифференциала. Для этого, выделив производную квадратного трехчлена в числителе, получим:

3) Вычисляем:

4) Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

Далее приводим дроби к общему знаменателю и приравниваем числители:

(21.8)

Неизвестные коэффициенты найдем с помощью метода частных значений:

Вычислим производную от обеих частей равенства (21.8):

Тогда для получаем:

Для имеем:

В итоге получаем:

5) Применим формулу интегрирования по частям:

Для вычисления предела используем правило Лопиталя (по переменной a):

Пример 4. Найти главное значение несобственного интеграла:

1) 2)

Решение. 1) Найдем главное значение данного интеграла по определению (21.5):

V.p.

Заметим, что вычисление интеграла по формуле (21.4) также дает (просьба убедиться самостоятельно), т. е. он сходится и в обычном смысле.

2) Найдем главное значение данного интеграла по определению (21.5):

Можно убедиться, что интеграл является расходящимся в обычном смысле.

Пример 5. Исследовать интеграл на сходимость, используя признак сравнения:

1) 2)

Решение. 1) При функция причем Интеграл сходится, так как

Поэтому, согласно признаку сравнения, интеграл сходится.

2) Функция при причем Интеграл расходится, так как

Поэтому, согласно признаку сравнения, интеграл расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость несобственные интегралы по предельному признаку сравнения:

1) 2) 3)

Решение. 1) Функция при Рассмотрим функцию интеграл от которой сходится (пример 2, с. 141 данного пособия).

Найдем Поэтому, согласно предельному признаку сравнения заключаем, что также сходится.

2) Функция при Рассмотрим функцию интеграл от которой расходится (пример 2, с. 141).

Находим:

Поэтому, согласно предельному признаку сравнения, расходится.

3) Функция при Поэтому исследуем на сходимость интеграл который будет сходиться или расходиться одновременно с заданным интегралом. Используем эквивалентность бесконечно малых функций: Сделаем следующие преобразования: Поэтому имеем Так как известно, что несобственный интеграл от функции сходится на промежутке (пример 2, с. 141 данного пособия), то сходится также интеграл а вместе с ним и заданный интеграл

Пример 7. Исследовать на сходимость интеграл где

Решение. Используем признак Абеля-Дирихле. Функция имеет ограниченную первообразную функция монотонно убывает и имеет непрерывную производную. Кроме того, Таким образом, все условия признака Абеля-Дирихле выполняются, а значит интеграл сходится.

Пример 8. Исследовать интеграл на абсолютную сходимость:

1) 2)

Решение. 1) Так как для любого то

Следовательно, интеграл сходится абсолютно.

2) Интеграл сходится в силу признака Абеля-Дирихле (см. пример 7, с. 147). Рассмотрим интеграл Так как то для любого имеем:

(21.9)

Осуществив предельный переход в неравенстве (21.9) при получаем:

Интеграл сходится в силу признака Абеля-Дирихле, а интеграл расходится (пример 2, с. 141 данного пособия). Приходим к выводу, что в результате предельного перехода в неравенстве (21.9) получим Таким образом, интеграл сходится, однако он не сходится абсолютно.