Тригонометрическая подстановка

Интегралы вида

где R – некоторая рациональная функция относительно x и могут быть вычислены с помощью тригонометрических подстановок, которые приводят его к интегралу от рациональной функции.

В квадратном трехчлене выделим полный квадрат и применим подстановку В результате под корнем получим одно из 3-х выражений: или

Если имеем то для уничтожения иррациональности применим подстановку в результате которой Аналогично можно использовать подстановку

Если имеем то для уничтожения иррациональности применяется подстановка в результате которой имеем:

Если под интегралом есть выражение то подставляем т. е.

Далее интеграл вычисляют как интеграл от тригонометрической функции и возвращаются к старой переменной, выражая последовательно t через y и x.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) Поскольку интеграл имеет вид: а то применим подстановку Тогда

2) Интеграл имеет вид: поэтому применим подстановку Тогда имеем:

3) Интеграл имеет вид:

Применим подстановку

Получаем:

4) Интеграл имеет вид:

Применим подстановку

Получаем интеграл

Для вычисления последнего интеграла вместо разложения на простейшие дроби применим формулу интегрирования по частям. Положим:

Получаем:

Заменяем t на тогда имеем:

Пример 2. Найти неопределенный интеграл:

1) 2) 3) 4)

Решение. 1) Положим

Тогда

Интеграл примет вид:

Возвращаемся к заданной переменной, заменяем t на Тогда

Приходим к ответу:

2) Применим подстановку

Тогда

Получаем интеграл

Заменяя t на получаем:

Приходим к ответу:

3) 1-й способ. Применим подстановку

Тогда

Интеграл примет вид:

Заменяем t на и применяем формулу

Приходим к ответу:

2-й способ. Применим подстановку Тогда Получаем интеграл

4) Выделим полный квадрат в квадратном трехчлене Положим тогда получаем интеграл для вычисления которого применим тригонометрическую подстановку

Тогда имеем:

Заменяем

Приходим к ответу: