Интегрирование тригонометрических выражений

Для вычисления интегралов вида где a, b, c, d – действительные числа, применяют следующие тригонометрические формулы:

(19.22)

с помощью которых произведение тригонометрических функций переводится в сумму.

Вычисление интеграла вида

(19.23)

зависит от показателей степеней m и n.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если в формуле (19.23) m – нечетное положительное число, т. е. то подынтегральное выражение преобразуется следующим образом:

Делают это с целью поднесения под знак дифференциала.

Тогда

Получаем интеграл от степенной функции относительно

В случае сразу имеем:

Аналогично поступают, если в формуле (19.23) n – нечетное положительное число, т. е. отдельно множитель можно поднести под знак дифференциала.

2. Если в формуле (19.23) то:

1) подынтегральная функция представляет собой дробь, в числителе которой находится степень синуса, а в знаменателе – степень косинуса или наоборот (степень числителя меньше степени знаменателя), причем показатели степени или оба четные или оба нечетные;

2) подынтегральная функция представляет собой дробь, числитель которой постоянная величина, а знаменатель – произведение степеней синуса и косинуса одинаковой четности.

В этих случаях применяют подстановки или которые преобразуют подынтегральную функцию в степенную функцию относительно или

При этом, если применяют подстановку то используются формулы:

(19.24)

Если применяют подстановку то используются формулы:

(19.25)

Для дроби первого вида, если в числителе находится степень то рациональнее применить подстановку если в числителе находится степень то – подстановку В случае, если числа m и n могут быть не целыми.

3. Если (m, n – целые числа), то подынтегральное выражение имеет один из видов или и тогда интеграл приводится к виду или Для вычисления следует применить соответственно подстановки и или которые приводят к интегралам или соответственно. Выполняя деление (в первом случае делим на а во втором – на ), придем к выражению, которое непосредственно интегрируется.

Для вычисления интегралов вида и можно использовать также формулы:

(19.26)

последовательно понижая степень тангенса или котангенса. С помощью формул (19.26) можно вычислять интегралы вида

где n – целое положительное число, и интегралы вида

где m, n – целые положительные числа.

4. Интегралы вида и вычисляются с помощью тригонометрических формул понижения степени:

(19.27)

Интеграл вида

(19.28)

где вычисляется с помощью формул (19.27) и формулы

(19.29)

5. Интеграл вида где R – рациональная функция, аргументами которой являются и т. е. над синусом и косинусом проводятся только рациональные операции (сложение и вычитание, умножение на постоянные величины, возведение в целые степени как положительные, так и отрицательные, деление), вычисляется с помощью универсальной тригонометрической подстановки При этом

(19.30)

Таким способом удобно вычислять интегралы вида а также где числа a, b одновременно не равны нулю.

Вместе с тем, универсальная подстановка часто приводит к громоздким вычислениям, поэтому ее следует применять в тех случаях, когда невозможно найти более удобный способ.