Частные подстановки

1. Если – нечетная функция относительно т. е. то подынтегральное выражение приводится к рациональной функции подстановкой

2. Если – нечетная функция относительно т. е. то подынтегральное выражение приводится к рациональной функции подстановкой

3. Если – четная функция относительно и т. е. то подынтегральное выражение приводится к рациональной функции подстановкой

4. Интеграл приводится к рациональной функции с помощью подстановки

5. Интеграл приводится к рациональной функции с помощью подстановки

Пример 1. Найти неопределенный интеграл:

1) 2)

Решение. 1) Заменяя произведение по формуле (19.22), получаем:

2) Интеграл также можно вычислить, преобразуя произведение тригонометрических функций в сумму. Используем иной способ:

Пример 2. Найти неопределенный интеграл:

1) 2) 3)

Решение. 1) Показатель степени синуса – нечетное натуральное число. Поэтому в подынтегральной функции выделим первую степень синуса:

Получаем:

Интегрируя как степенную функцию относительно получаем:

2) В подынтегральной функции выделим степень косинуса:

Получим:

Интегрируя как степенную функцию относительно получаем:

3) Поскольку то имеем:

Применим подстановку

Возвращаемся к старой переменной. Заменяем t на и получаем:

Пример 3. Найти неопределенный интеграл:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) Показатель степени синуса показатель степени косинуса – четное отрицательное число. Так как в числителе находится степень синуса, то применим подстановку и используем формулы (19.24). Получаем:

Заменив t на окончательно получаем:

2) Показатель степени синуса показатель степени косинуса – четное отрицательное число. Так как в числителе находится степень косинуса, то удобнее применить подстановку

Используя формулы (19.25), получаем:

Заменив t на получаем:

3) 1-й способ. Показатель степени синуса показатель степени косинуса – четное отрицательное число. Применим подстановку тогда Используя формулы (19.24), получаем:

Заменяем t на и получаем:

2-й способ. Преобразуем подынтегральное выражение и применим формулы (19.26):

Интегрируя как степенную функцию относительно получаем:

4) Имеем – четное отрицательное число. Применим подстановку и формулы (19.24), получаем:

Пример 4. Найти неопределенный интеграл:

1) 2)

Решение. 1) Показатель степени синуса показатель степени косинуса – четное отрицательное число. Применив подстановку и формулы (19.24), получаем:

Возвращаемся к старой переменной. Заменяя t на получаем:

2) Преобразуем подынтегральную функцию к виду

Имеем – четное отрицательное число. Применив подстановку и формулы (19.24), получаем:

Пример 5. Найти неопределенный интеграл:

1) 2)

Решение. 1) 1-й способ. Применяя подстановку и формулы (19.24), получаем:

Заменяем t на tg x:

2-й способ. Представив подынтегральную функцию в виде и применив формулу (19.26), получаем:

Еще два раза применим формулу (19.26):

Учитывая, что получим интеграл от рациональной функции относительно

2) Имеем интеграл вида (19.23). Используя формулу (19.29), получаем:

Далее, понижая степень по формуле (19.27), имеем:

Пример 6. Найти неопределенный интеграл:

1) 2)

Решение. 1) Запишем подынтегральную функцию

Так как подынтегральная функция является четной по sin x и cos x, т. е. то применим подстановку Вначале умножим и поделим знаменатель подынтегрального выражения на получаем:

Возвращаемся к заданной переменной, заменяем t на tg x и приходим к ответу:

2) Поскольку подынтегральная функция не является нечетной ни по sin x, ни по cos x, то применим универсальную тригонометрическую подстановку и формулы (19.30). Получаем:

Разложив подынтегральную функцию на сумму простейших дробей, сводим заданный интеграл к разности двух интегралов, которые вычисляем:

Заменяя t на приходим к ответу: