Свойства определенного интеграла

1)

2)

3)

равенства 2 и 3 в совокупности называются свойством линейности;

4)

5)

6) значение интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

7) свойство аддитивности: при любом взаимном расположении чисел a, b, c имеет место формула:

8) если при то

9) если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [a; b], то верна оценка

10)

11) если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует точка такая, что

12) если f (x) – нечетная функция, то

13) если f (x) – четная функция, то

14) если f (x) – периодическая функция периода T, то при любом верно равенство

Предполагается, что все интегралы, приведенные в свойствах 1–14, существуют.

Пример 1. Вычислить по определению интеграл

Решение. Функция интегрируема на отрезке [0; b], поскольку она непрерывна. Разобьем отрезок [0; b] на n частей точками где

В качестве точек возьмем крайние правые точки каждого частичного отрезка т. е.

Вычислим значения функции

Составим интегральную сумму

Методом математической индукции можно доказать, что

Тогда получаем:

Имеем:

Пример 2. Доказать, что функция Дирихле

не интегрируема на отрезке [0; 1].

Решение. Разобьем отрезок [0; 1] произвольным образом на n частичных отрезков. При составлении интегральной суммы выберем в качестве точек рациональные числа. Тогда

Получаем:

Затем составим интегральную сумму, выбрав в качестве точек иррациональны числа. Тогда Получаем:

Таким образом, интегральные суммы могут принимать как значение, равное 1, так и значение, равное 0. Следовательно, предел интегральных сумм не существует, т. е. функция Дирихле не интегрируема на отрезке [0; 1], хотя и ограничена на всей числовой прямой.

Пример 3. Сравнить интегралы и

Решение. Так как при (рис. 20.2), то по свойству сравнения определенных интегралов (см. 8-е свойство) имеем:

Рис. 20.2

Пример 4. Доказать неравенство

Решение. Так как при то по 9-му свойству определенных интегралов имеем:

Пример 5. Оценить интеграл

Решение. Так как при то Тогда по 8-му свойству определенных интегралов получаем:

Пример 6. Вычислить определенный интеграл:

1) 2) 3)

Решение. 1) Так как подынтегральная функция является нечетной, а отрезок интегрирования симметричен относительно начала координат, то

2) Функция является периодической с периодом Используем 7-е и 14-е свойства интеграла:

Последний интеграл равен нулю в силу нечетности функции

3) Функция является четной, а отрезок интегрирования симметричен относительно начала координат, поэтому