Функция распределения случайной величины. Ее свойства

Другой формой закона распределения случайной величины является функция распределения F(x), представляющая собой вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е.

F(x) = Р(Х )

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

Для дискретной случайной величины X с законом распределения , k = 1, 2, …, функция распределения имеет вид

,

 

где символ x_k x означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше х.

Графиком функции распределения дискретной случайной величины является график кусочно-постоянной функции. Скачки функции в точках разрыва равны вероятностям этих значений . Cумма всех скачков равна 1.

Пример:

_______________________________________________ _____________

Построить график функции распределения для случайной величины предыдущего примера.

При , очевидно, ;

при

при

при

при

при

при

График функции распределения изображен на рис. 5.2.

F(x)

₁

0,6

_{0 1 2 3 4 5} x

Рис. 5.2

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

1. Множество значений функции находится на отрезке [0; 1]:

.

2. Функция не убывает, т.е. если х₂ х₁, то .

3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а; в), то =0 при х а, =1 при х в.

4. Для выполняются предельные соотношения:

5. Функция распределения непрерывна слева.

6. Если х₂ х₁, то = Р(х₁ Х х₂).

В случае, когда х₁=а и х₂=в, получим: Р(а Х в) = – , т.е. вероятность принятия случайной величиной значения на промежутке [а; в) равна приращению функции распределения на этом промежутке.