Метод Гаусса. Метод Гаусса заключается в том, что элементар­ные преобразования совершают не над уравнениями системы (3.3)

Метод Гаусса заключается в том, что элементар­ные преобразования совершают не над уравнениями системы (3.3), а над матрицами, составленными из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для системы (3.3) запишем расширенную матрицу, послед­ний столбец которой состоит из свободных членов:

С помощью элементарных преобразований строк приведем расширенную матрицу к такому виду, чтобы в последней строке матрицы все члены, кроме п-го, были равны нулю. Система линейных уравнений, соответствующая этой матрице, будет эквивалентна исходной. Затем из последнего уравнения системы, соответствующей преобразованной матрице, находим х_п. Все остальные решения могут быть найдены последовательно, начиная с по­следнего уравнения.

Проиллюстрируем метод Гаусса на приме­рах с различными видами систем.

Примеры:

__________________________________________________________________________________

1) Решить систему уравнений:

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов (вертикальной чертой отделён столбец из свободных членов). Затем преобразуем её, умножив первую строку поочерёдно на (-1), (-4), (-2) и прибавив соответственно ко второй, третьей, четвёртой строкам. В результате получим из первоначальной матрицы преобразованную:

Второй матрице соответствует система уравнений

Решая последовательно все уравнения системы, начиная с последнего, получим:

, 20

20 =8 – 3, 20

2 =8 +3 – 4, 2

– 4· 3· , .

Ответ: , ,

2) Решить систему уравнений

Первую строку матрицы последовательно умножили на (-2), (-5), (-3) и сложили соответственно со второй, третьей и четвертой строками. На втором шаге из третьей строки вычли вторую. В результате получаем, что

система несовместна, т.к. уравнение, соответствующее третьей строке матрицы:

0

не имеет решения.

3) Решить систему уравнений

;

;

,

где х₄ – свободное неизвестное, оно может принимать любые действительные значения, т.е. система имеет бесконечное множество решений.

-------------------------------------------------------------------------------------------------