Обчислення. Приклад 3. Рентгенівський фотон з довжиною хвилі 0,2·10-10 м випробує комптонівське розсіювання на електроні під кутом 900
м/с.
Відповідь: м/с; м/с.
Приклад 3. Рентгенівський фотон з довжиною хвилі 0,2·10-10 м випробує комптонівське розсіювання на електроні під кутом 900. Знайти зміну довжини хвилі рентгенівського фотона при розсіюванні, кінетичну енергію електрона віддачі й імпульс електрона віддачі.
Дано: 2·10-11 м, 900.
Знайти: , Wк, pе.
Розв’язок.Зміна довжини хвилі рентгенівських променів при комптонівському розсіюванні визначається формулою
.
Підставивши числові дані, одержимо
м.
Закон збереження енергії , (де – енергія спокою електрона, – повна енергія електрона віддачі), дозволяє знайти кінетичну енергію Wк електрона віддачі як різницю між енергіями первинного фотона і розсіяного фотона
.
Зробимо обчислення.
Дж.
Імпульс електрона віддачі знайдемо із закону збереження імпульсу. Векторна сума імпульсів розсіяного фотону й електрону віддачі повинна дорівнювати векторові імпульсу первинного фотону (рис. 5.1). З рисунка бачимо, . | Рис. 5.1. |
Оскільки і , то вираз для імпульсу електрона віддачі pе набуває вигляду
.
Зробимо обчислення.
кг·м/с.
Відповідь: = 0,24·10-11 м; Wк = 1,06·10-15 Дж; pе =
= 4,44·10-23 кг·м/с.
Приклад 4. Паралельний пучок променів з довжиною хвилі
500 нм падає перпендикулярно на зачорнену поверхню, здійснюючи тиск 10-5 Па. Визначити концентрацію фотонів n0 поблизу поверхні і число фотонів n, що падають на одиницю площі за одиницю часу.
Дано: = 5·10-7 м; P = 10-5 Па; = 0; S = 1 м2; t = 1 с.
Знайти:n0; n.
Розв’язок. 1) Концентрація n0 фотонів у світловому потоці може бути знайдена діленням об'ємної густини енергії w на енергію одного фотона , тобто .
З формули для тиску світла випливає, що , а концентрація .
Для зачорненої поверхні коефіцієнт відбиття дорівнює нулю. Підставивши числові дані, одержимо
м-3.
2) Число фотонів n, що падають на одиницю площі за одиницю часу, чисельно дорівнює відношенню енергетичної освітленості (енергії усіх фотонів, що падають на одиницю площі поверхні в одиницю часу) до енергії одного фотона. Енергетичну освітленість Ee виразимо з формули для тиску світла
,
звідки (з урахування того, що ). Тоді
або . Зробимо обчислення.
м-2·с-1.
Відповідь: м-3; n = 7,56·1021 м-2·с-1.
Приклад 5. Електрон в атомі водню перейшов з четвертого енергетичного рівня на другий. Визначити енергію випущеного при цьому фотона.
Дано: n1 = 2; n2 = 4.
Знайти: .
Розв’язок. Енергія фотона, випущеного при переході електрона з одного енергетичного стану в інший, виражається формулою . Частоту випущеного фотона визначимо за формулою Бальмера
,
де R = 1,097·107 м-1 – стала Ридберга.
І так,
.
Зробимо обчислення.
Дж.
або 2,54 еВ.
Відповідь: 2,54 еВ.
Приклад 6. Знайти довжину хвилі де Бройля для електрона, що пройшов прискорюючу різницю потенціалів: 1) U1 = 51 В; 2) U2 =
=510 кВ.
Дано: U1 = 51 В; U2 = 5,1·105 В.
Знайти: , .
Розв’язок. Довжина хвилі де Бройля частинки залежить від її імпульсу . Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія: у нерелятивістському випадку , у релятивістському випадку , де енергія спокою частинки МеВ. Кінетична енергія електрона, що пройшов прискорюючу різницю потенціалів U1: . У першому випадку 51 еВ = 0,51·10-4 МеВ, тобто W1к<<E0 і значить .
Зробимо обчислення.
м.
В другому випадку кінетична енергія W2к = 510 кеВ = 0,51 МеВ, тобто дорівнює енергії спокою електрона. Тому необхідно застосувати релятивістську формулу для імпульсу . Оскільки , то перепишемо формулу
.
Зробимо розрахунок.
м.
Відповідь: 1,71·10-10 м; 1,4·10-12 м.
Приклад 7. Кінетична енергія електрона в атомі водню має величину порядку 10 еВ. Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити мінімальні лінійні розміри атома.
Дано: Wк = 10 еВ = 1,6·10-18 Дж.
Знайти: lmin.
Розв’язок. Із співвідношення невизначеностей випливає, що чим точніше визначається положення частинки в просторі, тим більше невизначеним стає імпульс, а отже, і енергія частинки. Якщо атом має лінійні розміри l, то електрон атома буде знаходитися десь у межах цієї ділянки. При цьому невизначеність координати електрона дорівнює . Співвідношення невизначеностей можна переписати у вигляді , звідки . Фізично розумна невизначеність імпульсу Δpx не повинна перевищувати значення самого імпульсу p, тобто . Імпульс пов’язаний з кінетичною енергією: . Тоді .
Зробимо обчислення.
= 1,23·10-10 м.
Відповідь: = 1,23·10-10 м.
Приклад 8.Електрон в одномірній прямокутній нескінченно глибокій «потенціальній ямі» шириною l знаходиться в збудженому стані (n = 2). Визначити імовірність виявлення електрона в середній третині «ями».
Дано: ; ; .
Знайти:w.
Розв’язок. Імовірність w виявлення частки в інтервалі визначається формулою
,
де Ψт(x) – нормована власна хвильова функція, що відповідає даному стану,
.
Збуджений стан (n = 2) описує функція
.
Тоді імовірність .
Проінтегрувавши цей вираз в межах від до , одержимо .
Відповідь:w = 0,192.
Приклад 9. Маса препарату радіоактивного магнію 12Mg27 дорівнює 0,2 мкг. Визначити початкову активність препарату і його активність через 1 годину. Період піврозпаду радіоактивного ізотопу магнію 12Mg27 дорівнює 10 хв.
Дано: m = 0,2·10-9 кг; t = 1 година; T1/2 = 10 хв.; t0 = 0.
Знайти: A0; A(t).
Розв’язок. Активність препарату зменшується згодом по експоненціальному закону , де – початкова активність препарату у момент часу t = 0. Стала радіоактивного розпаду . Кількість атомів у препараті у початковий момент часу .
Таким чином, початкова активність . Зробивши підстановку числових даних, одержимо
Бк,
або
Ки.
Тоді активність препарату через t = 1 година = 60 хв. складе
.
Підставивши числові дані, одержимо
Ки.
Відповідь:A0 = 139 Ки; A(t) = 2,17 Ки.
Приклад 10. Обчислити дефект маси та енергію зв’язку ядра бора 5B11.
Дано: mв = 11,00931 а.о.м.; mн = 1,00783 а.о.м.; mn = 1,00867 а.о.м.
Знайти: Δm; ΔEзв..
Розв’язок. Дефект маси ядра
.
У зв’язку з тим, що в довідкових таблицях завжди даються маси нейтральних атомів mа, а не ядра mя, наведену формулу слід перетворити. Оскільки mя = mа – Zme, то . Вважаючи, що , де m – маса атома водню, остаточно знаходимо
.
Підставивши значення, одержимо
= 0,08186 а.о.м.
Енергія зв’язку ядра знаходимо із закону взаємозв’язку маси й енергії . Якщо обчислювати енергію зв’язку, користуючись позасистемними одиницями, то c2 = 931 МеВ/а.о.м. З обліком цього формула приймає вигляд (МеВ). Підставивши знайдене значення дефекту маси, одержимо
МеВ.
Відповідь: = 0,08186 а.о.м.; МеВ.
Приклад 11.Знайти, яке ядро утвориться у результаті ядерної реакції й обчислити енергію цієї реакції.
Розв’язок. Використовуючи закон збереження маси і заряду, одержуємо
4 + 10 = 1 + A, 2 + 5 = 1 + Z, тобто
і ядерна реакція буде виглядати так
.
Енергетичний ефект ядерної реакції визначається формулою
(МеВ),
де – дефект маси ядерної реакції в а.о.м.
Значення мас нейтральних атомів наведені в довідкових таблицях:
а.о.м. а.о.м.
а.о.м. а.о.м.
Підставивши числові дані, одержимо
МеВ.
Оскільки Δm>0, реакція є екзотермічною і йде з виділенням енергії.
Відповідь:ΔЕ = 4,06 МеВ.
Приклад 12. Визначити теплоту, необхідну для нагрівання кристала NaCl масою 20 г від температури 2 К до температури 4 К. Характеристичну температуру Дебая для NaCl прийняти рівною 320 К и умову вважати здійсненою.
Дано: m = 2·10-2 кг; T1 = 2 К; T2 = 4 К; = 320 К;
= 58,5·10-3 кг/моль.
Знайти: ΔQ.
Розв’язок. Теплота ΔQ, що підводиться для нагрівання тіла від температури T1 до T2, може бути обчислена за формулою
,
де CT – теплоємність тіла, що пов’язана з молярною теплоємністю співвідношенням . У свою чергу молярна теплоємність при низьких температурах (T<<θД) визначається формулою
,
де R = 8,31 Дж/(моль·К) – універсальна газова стала.
Підставляючи теплоємність у формулу для ΔQ, одержимо
.
Перетворимо отриману формулу і зробимо обчислення
;
Дж.
Відповідь: Дж.
Приклад 13. Кремнієвий зразок нагрівають від 0 0С до 10 0С. У скільки разів зростає його питома провідність?
Дано:t1 = 0 0С; t2 = 10 0С.
Знайти: .
Розв’язок. Питома провідність власних напівпровідниках пов’язана з температурою T співвідношенням
,
де – константа; ΔE – ширина забороненої зони; k = 1,38·10-23 Дж/К – стала Больцмана. Отже,
.
Покладаючи для кремнію ΔE = 1,1 еВ, зробимо обчислення:
.
Відповідь: .
Дата добавления: 2015-09-28; просмотров: 1406;