Обчислення. Приклад 4. Коротка котушка, що містить 1000 витків, рівномірно обертається з частотою 10 об/с відносно осі
м = 11,8 мм.
Відповідь:R = 11,8 м.
Приклад 4. Коротка котушка, що містить 1000 витків, рівномірно обертається з частотою 10 об/с відносно осі, що лежить у площині котушки і перпендикулярна до ліній однорідного магнітного поля з індукцією 0,04 Тл (рис. 4.3). Визначити миттєве значення ЕРС індукції для тих моментів часу, коли площина котушки складає кут 600 з лініями поля. Площа котушки дорівнює 100 см2. | Рис. 4.3. |
Дано: N = 103, n = 10 об/с, B = 0,04 Тл, S = 10-2 м2.
Знайти: .
Розв’язок. Миттєве значення ЕРС індукції визначається основним рівнянням електромагнітної індукції Фарадея-Максвелла
.
При обертанні котушки магнітний потік змінюється за законом . Підставляючи вираз магнітного потоку у формулу для і диференціюючи за часом, знайдемо
.
З огляду на те, що кутова швидкість пов’язана з частотою обертання n і що кут , одержимо
.
Зробимо обчислення.
В.
Відповідь: В.
Приклад 5. Прямолінійний провідник, довжиною 1,2 м, з’єднаний із джерелом струму, ЕРС якого 24 В и внутрішній опір 0,5 Ом. Провідник знаходиться в однорідному магнітному полі з індукцією 0,8 Тл. Знайти струм у колі, якщо провідник рухається перпендикулярно лініям індукції поля з швидкістю 12,5 м/с. У скільки разів зміниться величина струму в колі, якщо провідник зупиниться? Опір усього зовнішнього кола прийняти за 2,5 Ом. Магнітним полем струму у провіднику знехтувати.
Дано: l = 1,2 м; 24 В; r = 0,5 Ом; R = 2,5 Ом; B = 0,8 Тл; 12,5 м/с. Знайти: Розв’язок. Сила струму в провіднику визначається ЕРС джерела і різницею потенціалів, що виникає на кінцях провідника при його русі в напрямку, перпендикулярному до ліній магнітної індукції, тобто | Рис. 4.4. |
.
У залежності від напрямку руху провідника може або додавався до джерела, або відніматися. Тоді
А; А; А.
Якщо провідник зупиниться, то А. Таким чином, при зупинці провідника струм або збільшується в 2 рази, або зменшується в 1,5 рази.
Приклад 6. Дротяна квадратна рамка із стороною 5 см і опором 10 Ом знаходиться в однорідному магнітному полі з індукцією 40 мТл. Нормаль до площини рамки складає кут 300 з лініями магнітної індукції. Визначити заряд, що пройде по рамці, якщо магнітне поле виключити.
Дано:a = 5·10–2 м, R = 10–2 Ом, В = 4·10–2 Тл, = 300.
Знайти: q.
Розв’язок. При вимиканні магнітного поля внаслідок зміни магнітного потоку в рамці наводиться ЕРС індукції , яка викликає індукційний струм. Відповідно до закону Ома для повного кола
або .
З урахуванням того, що запишемо .
Проінтегрувавши цей вираз, знайдемо
або .
За умовою задачі Ф2 = 0, а і S = a2 , тому запишемо
.
Зробимо обчислення.
Кл.
Відповідь: q = 8,67·10-3 Кл.
Приклад 7. Виток радіусом 2 см, по якому тече струм у 10 А, вільно встановився в однорідному магнітному полі з індукцією 1,5 Тл. Лінії індукції перпендикулярні до площини витка. Визначити роботу зовнішніх сил при повороті витка на кут 900 навколо осі, що збігає з діаметром витка.
Дано: I = 10 A; B = 1,5 Тл; r = 0,02 м; = 900.
Знайти: А.
Розв’язок. На виток зі струмом діє обертовий момент , де магнітний момент .
У початковому положенні, відповідно до умови задачі, виток вільно установився в магнітному полі, отже, вектори і збігаються за напрямками, тобто і М = 0.
При дії зовнішніх сил виток виходить з початкового положення. При цьому зовнішні сили виконують роботу проти цього моменту, що є перемінним і залежить від кута повороту
або .
Проінтегрувавши цей вираз, знайдемо роботу, виконану при повороті витка на кінцевий кут
.
Зробимо обчислення.
Дж.
Відповідь: А = 18,84·10-3 Дж.
Приклад 8. Соленоїд із сердечником з немагнітного матеріалу містить 1200 витків проводу, що щільно прилягають один до одного. При силі струму 4 А магнітний потік дорівнює 6 мкВб. Визначити індуктивність соленоїда і енергію магнітного поля соленоїду.
Дано: N = 1200; I = 4 A; Ф = 6·10–6 Вб.
Знайти: L, Wm.
Розв’язок. Індуктивність пов’язана з потокозчепленням і силою струму співвідношенням
.
Враховуючи, що , то .
Енергія магнітного поля соленоїда .
Підставивши вираз для індуктивності, одержимо
.
Зробимо обчислення.
Гн = 1,8 мГн.
Дж = 14,4 мДж.
Відповідь: L = 1,8·10-3 Гн = 1,8 мГн; Wm = 1,44·10-2 Дж = 14,4 мДж.
Приклад 9. Матеріальна точка масою 10 г виконує коливання з періодом 1 с. Початкова фаза коливань 300. Визначити амплітуду коливань, максимальні швидкість і прискорення точки, що коливається, а також найбільше значення сили, що діє на точку, якщо максимальна кінетична енергія дорівнює 0,02 Дж.
Дано: m = 10–2 кг, Т = 1 с, , Wk max = 0,02 Дж.
Знайти: А, , amax.
Розв’язок. Повна енергія точки, що коливається, дорівнює сумі кінетичної і потенціальної енергії; вона дорівнює максимальній кінетичній або максимальній потенційній енергії. Повна енергія гармонічного коливання визначається формулою , звідки
.
З огляду на те, що , одержимо
м.
Запишемо рівняння гармонічних коливань
,
де А = 0,32 м, с–1, .
Швидкість визначається як перша похідна від зміщення за часом , а м/с (з урахуванням того, що ).
Прискорення – перша похідна від швидкості за часом
.
Припускаючи, що , знайдемо
= 12,62 м/с2.
Частинка робить гармонічні коливання під дією квазіпружної сили , де k – коефіцієнт квазіпружної сили, х – зміщення точки, що коливається. Сила буде мати максимальне значення при зміщенні xmax, яке дорівнює амплітуді
.
Коефіцієнт k зв’яжемо з періодом коливань
.
Тоді
;
Н.
Відповідь: м/с; м/с2; Н.
Приклад 10. Точки, що коливаються, віддалені від джерела коливань на відстань 1 м і 1,21 м у напрямку поширення хвилі. Різниця фаз коливань /4, частота коливань джерела 200 с–1. Визначити довжину хвилі і швидкість її поширення.
Дано: х1 = 1 м; х2 = 1,21 м, , =2·102 с–1.
Знайти: , .
Розв’язок. З рівняння хвилі, що біжить, для коливання в точках х1 і х2 можна записати
,
.
Знайдемо різницю фаз коливань .
З огляду на те, що , одержимо , звідки
; м.
Швидкість поширення хвилі
м/с.
Відповідь: м; м/с.
Приклад 11. Різниця потенціалів на обкладках конденсатора в коливальному контурі змінюється з часом за законом . Електроємність конденсатора 0,5 мкФ. Визначити період власних коливань, індуктивність, енергію контуру і максимальну силу струму, що тече в котушці індуктивності.
Дано: U = 100sin1000 t; С = 0,5·10–6 Ф.
Знайти: Т, L, W, Imax.
Розв’язок. Напруга на обкладках конденсатора змінюється за гармонічним законом , де U0 – амплітудне (максимальне) значення напруги; – власна циклічна частота коливань, що пов’язана з періодом коливань .
Звідси с.
З формули Томсона для періоду власних коливань у контурі знайдемо індуктивність , тому
; Гн = 0,2 Гн.
Енергія контуру – це сума електричної і магнітної енергій, і дорівнює максимальній енергії поля конденсатора або максимальній енергії котушки індуктивності .
W = 0,5·10-6·1002/2 = 2,5·10-3 Дж.
Знаючи повну енергію, можна визначити максимальну силу струму, що протікає в котушці
; А.
Відповідь: T = 0,002 с; Гн; W = 2,5·10-3 Дж; Imax = 0,15 А.
Приклад 12. Відстань між двома когерентними джерелами 0,9 мм. Джерела посилають монохроматичне світло з довжиною хвилі 640 нм на екран, розташований від них на відстані 3,5 м. Визначити число світлих смуг на 1 см довжини. Дано: d = 9·10–4 м, = 6,4·10–7 м, L = 3,5 м, х = 10–2 м. | Рис. 4.5. |
Знайти: k/х.
Розв’язок. У точці О на екрані (рис. 4.5) буде максимальна освітленість. Ця точка рівновіддалена від обох джерел S1 і S2, тому різниця ходу променів S1O і S2O дорівнює нулю. У довільній точці О1 максимум освітленості буде спостерігатися, якщо різниця ходу променів дорівнює цілому числу довжин хвиль , де k – номер світлої смуги. З рисунка видно, що , звідки і тому . Звідси число світлих інтерференційних смуг, що припадають на одиницю довжини
.
Підставляючи числові дані, одержимо
м-1.= 4 см-1.
Відповідь: см-1.
Приклад 13. На скляний клин нормально до його грані падає монохроматичне світло з довжиною хвилі 0,6 мкм. Число інтерференційних смуг, що припадає на 1 см, дорівнює 10. Визначити заломлюючий кут клина (n = 1,5). | Рис. 4.6. |
Дано: n = 1,5; i = 00; = 6·10–7 м; l = 10–2 м; N = 10.
Знайти: .
Розв’язок. Паралельний пучок променів, падаючи нормально до грані клина, відбивається як від верхньої, так і від нижньої граней. Ці промені когерентні і тому спостерігається стійка інтерференційна картина при їхньому накладенні. Різниця ходу променів визначається формулою
. (1)
Темні смуги спостерігаються на тих ділянках клина, для яких різниця променів кратна непарному числу напівхвиль
. (2)
Дорівнявши праві частини рівнянь (1) і (2) одержимо
.
Оскільки кут падіння i = 0 (sini = 0), то , звідки , де dk – товщина клина в тому місці, де спостерігається темна смуга, що відповідає номеру k. Сусідня темна смуга з номером (k + 1), що відповідає товщині клина dk+1 , знаходиться на відстані l/N. (рис. 4.6), .
На рисунку бачимо, що пошукуваний кут (через його малість, можна вважати ) , або .
Підставивши числові дані, одержимо
рад.; .
Відповідь: .
Приклад 14. На дифракційну ґратку нормально падає паралельний пучок променів з довжиною хвилі 500 нм. На екрані, паралельному дифракційній ґратці і віддаленому від неї на 1 м, спостерігається дифракційна картина. Відстань між максимуму першого порядку на екрані дорівнює 20,2 см. Визначити сталу дифракційної ґратки, число штрихів на 1 см, число максимумів, що дає дифракційна ґратка, макси- | Рис. 4.7. |
мальний кут відхилення променів, що відповідає останньому дифракційному максимуму.
Дано: λ = 5·10–7 м, L = 1 м, k = 1, l = 0,202 м.
Знайти: d, N, kmax, .
Розв’язок. Умова максимуму при дифракції від ґратки має вид . У цій задачі порядок спектра k = 1, а (зазначене наближення має місце, тому що ). Тоді , звідки стала ґратки . Підставивши числові дані, одержимо
м.
Число штрихів на одиниці довжини знайдемо з формули
м-1 = 2020 см-1.
Для визначення числа максимумів, яке дає дифракційна ґратка, обчислимо максимальне значення k, яке визначимо з тієї умови, що максимальний кут відхилення променів дифракційними ґратками не може перевищувати 900.
.
Оскільки число максимумів k повинно бути тільки цілим числом, то k = 9 (k не може прийняти значення 10, тому що при цьому ).
Підрахуємо число максимумів, яке дає дифракційна ґратка: вліво і вправо від центрального максимуму, для котрого k = 0, буде спостерігатися однакове число максимумів, що дорівнює kmax, тобто всього 2kmax. З огляду на центральний (нульовий) максимум, одержимо загальне число максимумів M = 2kmax + 1, тобто M = 2·9+1 = 19.
Найбільший кут відхилення променів, що відповідає останньому дифракційному максимуму знайдемо у такий спосіб
, тобто
Відповідь: d = 4,95·10-6 м; N = 2020 см-1; ;
Приклад 15. Природне світло падає на поліровану поверхню скляної пластини, зануреної в рідину. Відбитий від пластини промінь утворює кут 970 з падаючим променем. Визначити показник заломлення рідини, якщо відбитий промінь максимально поляризований.
Дано: iб = 970/2; n2 = 1,5.
Знайти: n1.
Розв’язок. Відповідно до закону Брюстера відбитий промінь буде максимально поляризований, якщо тангенс кута падіння чисельно дорівнює відносному показникові заломлення; , звідки .
.
Відповідь: n1 = 1,33.
Приклад 16. Який кут утворюють площини поляризації двох ніколей, якщо світло, що вийшло з другого ніколя, було ослаблене у 5 разів. Врахувати, що поляризатор поглинає 10 %, а аналізатор 8 % падаючого на них світла.
Дано: k1 = 0,1; k2 = 0,08; n = I0/I2 = 5.
Знайти:
Розв’язок. Природний промінь світла, падаючи на грань призми Ніколя, зазнає подвійного променезаломлення, у результаті чого виникають два промені: звичайний і незвичайний. Обидва промені поляризовані у взаємно перпендикулярних площинах, інтенсивність їх однакова і дорівнює половині інтенсивності природного світла. З урахуванням поглинання інтенсивність світла, що пройшло через поляризатор , де I0 – інтенсивність природного світла, що падає на перший ніколь.
Поляризований промінь, потрапляючи на другу призму (аналізатор), знову випробує поглинання. Крім того, інтенсивність цього променя зменшується через розбіжність площин поляризації поляризатора й аналізатора. Зменшення інтенсивності визначається законом Молюса .
З урахуванням втрат інтенсивності світла в аналізаторі, одержимо
,
звідки
.
Зробимо обчислення.
, тобто .
Відповідь: .
Дата добавления: 2015-09-28; просмотров: 2949;