Число микросостояний частицы

Для частицы обобщенные координаты q и импульсы p связаны с энергией дисперсионным соотношением

.

Микросостояния с фиксированной энергией находятся в 2f-мерном фазовом пространстве на гиперповерхности . Число состояний внутри гиперповерхности получаем из (2.12)

при

. (2.15)

Рассмотрим степенную зависимость энергии от импульса

,

где s и t – вещественные числа; p – модуль импульса. Фиксируем энергию и координаты, тогда в f-мерном импульсном пространстве получаем сферой радиусом

.

Интеграл по импульсам в (2.15) равен объему f-мерного шара

.

Результат интегрируем по координатам области, ограниченной поверхностью , и из (2.15) в виде

получаем

. (2.16)

Если энергия частицы, находящейся в объеме , зависит от импульса и не зависит от координат

, ,

тогда в (2.15)

интегрирования по координатам и импульсам разделяются. Получаем число состояний частицы с энергией ε

, (2.17)

где – объем импульсного пространства, ограниченный гиперповерхностью .

Для частицы с законом дисперсии

,

где s, t и u – вещественные числа, модуль импульса . Используем объем шара

,

и из (2.17) при получаем

. (2.18)

В частности, для :

: ; (2.18а)

: ; (2.18б)

: , (2.18в)

где , , – длина, площадь и объем, занятые одномерным, двухмерным и трехмерным газом, соответственно. В (2.18а) множитель 2 учитывает два направления импульса одномерного движения.