Определение реакций опор вращающегося тела

Рис.15.3

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z под действием приложенных к нему внешних активных сил и реакции связей и , приложенных в закрепленных точках тела А и В. Определим реакции связей и , как величины, зависящие от приложенных сил и характера вращения тела. Примем точку А за начало координат и разложим реакции связей на составляющие

.

Пусть - угловая скорость тела, - угловое ускорение тела, - центр масс тела, АВ = l.

Применим теорему об изменении количества движения:

.

В проекциях на оси координат получим:

(15.8)

Применяя теорему об изменении кинетического момента относительно точки А, имеем

(15.9)

Определим проекции векторных произведений в равенстве (26.9):

Тогда векторное уравнение (15.6) в проекциях на оси координат запишется в следующем виде:

(15.10)

Выразим в уравнениях (15.8) и (15.10) все производные от координат через угловую скорость и угловое ускорение тела. Для этого введём цилиндрические координаты. Декартовы координаты связаны с цилиндрическими координатами (рис.26.3) формулами

(15.11)

Вычислим производные, учитывая, что при вращательном движении тела изменяется только угловая координата k-ой точки тела M_k:

(15.12)

Выполняя операции дифференцирования и подставляя значения производных в (15.8) получим:

(15.13)

Выполняя операции дифференцирования в (15.10) и подставляя значения производных (15.13), после сокращений получим:

(15.14)

В формулах (15.13) и (15.14) вынося квадрат угловой скорости и угловое ускорение за знак суммирования и обозначая осевой момент инерции , центробежные моменты инерции , координаты центра масс , получим окончательно систему уравнений:

Последнее уравнение системы (15.15) не содержит реакций. Оно является уравнением вращательного движения тела, из которого находятся угловое ускорение и угловая скорость . Остальные пять уравнений содержат шесть неизвестных реакций. Следовательно, система является неопределённой. Из третьего уравнения можно определить лишь сумму реакций . Эта неопределённость устраняется конструктивно заменой верхней сферической опоры в точке В цилиндрической. Это дает последней свободу перемещения вдоль оси z и тогда

Из системы уравнений (15.15) видно, что реакции опор зависят как от внешних активных сил, так и от кинематических характеристик тела, координат центра масс и центробежных моментов инерции тела . Составляющие реакций, зависящие от последних, называются динамическими. Составляющие реакций, зависящие только от внешних активных сил, называются статическими. При быстром вращении тела динамические составляющие реакций могут быть большими. Определим условия, при которых динамические составляющие равны нулю.