Расширенная комплексная плоскость.

Пусть Х – любое топологическое пространство. Добавим к Х т.е. Окрестностями называется дополнение к компакту, т.е. - компакт по определению. Возьмём плоскость С. - расширенная комплексная плоскость. База окрестностей для : , тогда - компакт по построению. Пусть - стереографическая проекция. Т.е. - это гомоморфизм (непрерывное, взаимно однозначное соответствие). - гладкое многообразие (двумерное). Какое именно? Сфера по определению. Сфера Римана – другое название расширенной комплексной плоскости.

Замечание. Любая рациональная функция непрерывно отображает в т.е. .

Пример: , доопределим её: Тогда она будет непрерывной.

Определение. Сферическим расстоянием между 2 точками на плоскости называется расстояние между соответствующими точками на сфере (расстояние на сфере измеряется длиной дуги большого круга).

Задача. Вывести формулу для сферического расстояния.

ДРОБНО-ЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ (ДЛО)