Стереографическая проекция.

Имеем сферу S с диаметром 1. Она касается некоторой плоскости . Точка касания 0. Диаметрально противоположная точка – Р. Возьмём на сфере любую точку М. Через точки Р и М проведём прямую, которая в точке М’. Это стереографическая проекция сферы на плоскость. Так отображение взаимно однозначное. Есть обратное отображение. Получим координатные формулы для стереографической проекции.

- коэффициент подобия. КМ – обозначим за . , (ОМР – прямой угол, среднее геометрическое, r = OM’). , следовательно окончательные формулы и формулы для обратного отображения:

Теорема1 (Свойство конформности для стереографических проекции). Стереографическая проекция сохраняет углы между кривыми.

Доказательство: На сфере проведём 2 гладкие кривые. Рассмотрим на образы этих кривых и докажем что углы равны (Геометрическое доказательство). Через М проводим 2 касательные к кривым. Через точку Р и проведём плоскость. Она пересечёт по . Аналогично и для получим . Проведём - касательную плоскость к сфере в точке Р. . Рассмотрим - две касательные. - аналогично. - общая сторона. треугольники равны (по 3^ему признаку J). . Но (углы с параллельными сторонами) ч.т.д.

Теорема2 (Круговое свойство). Стереографическая проекция устанавливает взаимно однозначное соответствие между окружностями на сфере и окружностями на плоскости (прямую на плоскости называем здесь окружностью).

Доказательство: (Координатное). Окружность на сфере – линия пересечения с некоторой плоскостью, т.е. - общее уравнение окружности на сфере. . Домножаем на : - общее уравнение окружности на плоскости, если ,то прямая.