Сингулярные векторы блоков матриц изображений, отвечающие максимальным сингулярным числам, при разном качестве сжатия

Формат ЦИ	Сингулярный вектор
JPEG ( )	: 0.3536 0.3536 0.3536 0.3535 0.3535 0.3535 0.3536 0.3536
: 0.3541 0.3538 0.3533 0.3531 0.3531 0.3533 0.3538 0.3541
JPEG ( )	: 0.3780 0.3747 0.3681 0.3581 0.3481 0.3381 0.3314 0.3281
: 0.3667 0.3634 0.3601 0.3568 0.3501 0.3468 0.3435 0.3401
JPEG ( )	: 0.3898 0.4007 0.4079 0.3960 0.3679 0.3193 0.2678 0.2351
: 0.2370 0.1812 0.1695 0.2714 0.3965 0.4957 0.4691 0.4309
JPEG ( )	: 0.3107 0.3273 0.3497 0.3656 0.3701 0.3675 0.3659 0.3667
: 0.4020 0.3885 0.3673 0.3462 0.3318 0.3265 0.3273 0.3299
JPEG ( )	: 0.2438 0.2435 0.2574 0.3268 0.3926 0.4206 0.4375 0.4310
: 0.3482 0.3504 0.3539 0.3566 0.3570 0.3561 0.3537 0.3525
JPEG ( )	: 0.3542 0.3506 0.3499 0.3521 0.3534 0.3528 0.3556 0.3598
: 0.3485 0.3427 0.3544 0.3468 0.3570 0.3568 0.3599 0.3618
JPEG ( )	: 0.3416 0.3487 0.3585 0.3620 0.3562 0.3487 0.3528 0.3595
: 0.3409 0.3448 0.3452 0.3519 0.3484 0.3525 0.3708 0.3724
JPEG ( )	: 0.4059 0.3903 0.3917 0.3908 0.3880 0.3545 0.2663 0.1718
: 0.2991 0.2064 0.2047 0.3272 0.4022 0.4039 0.4614 0.4256
TIF	: 0.3527 0.3513 0.3512 0.3534 0.3535 0.3525 0.3558 0.3580
: 0.3462 0.3462 0.3517 0.3505 0.3553 0.3587 0.3589 0.3606

Из всего вышесказанного вытекает, что малым при сжатии будет не только отклонение сингулярных векторов и от первоначального положения, что говорит о «классической» нечувствительности данных векторов, но и изменение во взаимном расположении , , n-оптимального вектора.

Для комплексной количественной оценки полученного качественного заключения был проведен вычислительный эксперимент, в котором анализировались значения углов между векторами и n-оптимальным, и n-оптимальным, и для цифровых изображений, первоначально хранимых в формате без потерь, а затем после сжатия с различными коэффициентами качества . Иллюстрация типичных результатов представлена для одного из тестируемых ЦИ на рис.8.4-8.6.

Из представленных гистограмм видно, что качественная картина взаимного расположения векторов , , n-оптимального практически не зависит от коэффициента качества при сжатии, в частности, глобальный максимум всех гистограмм для рассматриваемого цифрового изображения наблюдается в нуле. При этом средние значения для углов между сингулярными векторами и , и n-оптимальным, и n-оптимальным по всему изображению соответственно составили:

для TIF-ЦИ — 5.0, 3.7, 3.2;

для JPEG-ЦИ ( ) – 4.8, 3.6, 3.0;

для JPEG-ЦИ ( ) — 4.9, 3.7, 3.1;

для JPEG-ЦИ ( ) — 4.9, 3.7, 3.2,

т.е. взаимное расположение векторов , , n-оптимального для рассмотренного примера практически не изменяется при различных по силе возмущающих воздействиях, отвечающих сжатию.

а б

в г

Рис.8.4. Гистограммы значений углов между СНВ и блоков для одного ЦИ при различных форматах хранения: TIF (а); JPEG (б); JPEG (в); JPEG (г)

В ходе эксперимента для каждого ЦИ в формате TIF, а затем после пересохранения его в JPEG с различными значениями коэффициента качества вычислялись средние значения углов между и (обозначаемое как ), и n-оптимальным ( ), и n-оптимальным ( ) по всему изображению.

а б

в г

Рис.8.5. Гистограммы значений углов между СНВ блоков и n-оптимальным для одного ЦИ при различных форматах хранения: TIF (а); JPEG (б); JPEG (в); JPEG (г)

Для го ЦИ эти значения обозначались соответственно , , , , где верхний индекс указывает на формат хранения ЦИ (для JPEG-ЦИ он указывает на значение коэффициента качества , использованного при сжатии).

а б

в г

Рис.8.6. Гистограммы значений углов между СНВ блоков и n-оптимальным для одного ЦИ при различных форматах хранения: TIF (а); JPEG (б); JPEG (в); JPEG (г)

Результаты проведенного вычислительного эксперимента для наибольшего из рассмотренных возмущающих воздействий ( ) отражены на рис.8.7, в табл.8.4, откуда видно, что для подавляющего большинства изображений , , претерпевают при сжатии с возмущение, не превосходящее одного градуса (рис.8.7), при этом средние значения , , , , соответственно равны 0.58, 0.45, 0.41.

а б

в

Рис.8.7. Результат сжатия ЦИ, хранящегося первоначально без потерь: гистограмма значений (а); гистограмма значений (б); гистограмма значений (в)

В таблице 8.4 , , – это средние значения по всем тестируемым изображениям глобальных максимумов гистограмм значений углов между СНВ и , и n-оптимальным, и n-оптимальным соответственно, выраженные в градусах; , , — средние значения по всем тестируемым ЦИ , , , , соответственно, выраженные в градусах.

Таблица 8.4 –