Розклад даного вектора за напрямками на прямій, на площині і в просторі

Означення. Вектор (1) називається лінійною комбінацією векторів , де -деякі числові множники.

У виразі (1) вектор отримано в результаті лінійних операцій над векторами . Іноді говорять, що вектор лінійно виражається через вектори . Вираз (1) називають також розкладом вектора по системі векторів .

В необхідності розкладу вектора за даними напрямками можна переконатись на такому прикладі.

Дві опори (рис. 9) утримують вантаж під дією сили земного тяжіння . Необхідно знайти зусилля на кожну з опор.

Рис. 9

Для розв’язання задачі розкладемо вектор за правилом паралелограма на складові і , = + , які напрямлені вздовж опор. Величини зусиль можна знайти за допомого теореми синусів, розглядаючи паралелограм АВСО, в якому відома діагональ і кути і , які вона утворює зі сторонами ОВ і ОС.

Пропонуємо самостійно переконатись, що

Тепер перейдемо до лінійного вираження вектора за напрямками в більш загальній формі: на прямій, на площині в просторі.

1. Нехай дано два ненульові колініарні вектори , . Тоді існує число таке, що

Дійсно, можна знайти як відношення . Якщо вектори однаково напрямлені, , то число буде додатним, >0, і якщо , то <0.

2. Нехай на площині задані два неколініарні вектори , ½½ , і вектор , що належить цій же площині. Знайти розклад вектора за напрямками векторів (рис. 10).

Рис. 10

Побудуємо паралелограм ОВАС, діагональ якого вектор , а сторони ОВ і ОС розміщені на напрямках векторів . Тоді

Але , тоді за аналогією з (1) існує число таке, що . Так само .

Отже,

Коефіцієнти розкладу називаються координатами вектора в системі векторів .

3. Нехай в просторі задано три некомпланарні вектори зведені до спільної точки О і вектор . Тоді має місце розклад:

де - деякі числа, називаються координатами вектора в системі векторов (рис. 11).

Рис. 11

Для доведення (3) проведемо з точки А (кінець вектора ) пряму до перетину з площиною векторів в точці М. Далі, проведемо до перетину з напрямком в точці . ОМАD - паралелограм. Для вектора маємо

.

Вектор компланарний з , тому згідно (2) існують числа такі, що

Крім того, , тому за аналогією з (1) існує число таке, що . Остаточно отримуємо рівність (3).