Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів
Означення 1. Система векторів називається лінійно залежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору:
за умови, що хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля.
Якщо система векторів лінійно залежна, то хоча б один з них можна подати у вигляді лінійної комбінації інших. Дійсно, якщо, наприклад, , то з (1) випливає:
;
Навпаки, якщо лінійна комбінація векторів , тобто
,
то вся система - лінійно залежна, бо
де .
Означення 2. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору:
тільки за умови рівності нулю всіх коефіцієнтів .
Поняття лінійної залежності векторів дозволяє характеризувати їх взаємне положення в просторі.
Теорема 1. Два вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
Теорема 2. Довільні три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.
Теорема 3. Чотири вектори завжди лінійно залежні, тобто існують числа такі, що для векторів має місце співвідношення:
Зауваження. Розклад (2) за системою трьох некомпланарних векторів - єдиний.
Дійсно, якщо припустити, що існує ще один розклад:
то віднімаючи із (2) останню рівність, отримаємо:
Оскільки - лінійно незалежні (вони не компланарні), то це можливо за умови
Приклад.Накресліть довільний базис Побудуйте вектори , , і
Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 1455;