Лінійна залежність і лінійна незалежність системи векторів

 

Означення 1. Система векторів називається лінійно залежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору:

за умови, що хоча б один з коефіцієнтів відмінний від нуля.

Якщо система векторів лінійно залежна, то хоча б один з них можна подати у вигляді лінійної комбінації інших. Дійсно, якщо, наприклад, , то з (1) випливає:

;

Навпаки, якщо лінійна комбінація векторів , тобто

,

то вся система - лінійно залежна, бо

де .

Означення 2. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нульовому вектору:

тільки за умови рівності нулю всіх коефіцієнтів .

Поняття лінійної залежності векторів дозволяє характеризувати їх взаємне положення в просторі.

Теорема 1. Два вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Теорема 2. Довільні три вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Теорема 3. Чотири вектори завжди лінійно залежні, тобто існують числа такі, що для векторів має місце співвідношення:

Зауваження. Розклад (2) за системою трьох некомпланарних векторів - єдиний.

Дійсно, якщо припустити, що існує ще один розклад:

то віднімаючи із (2) останню рівність, отримаємо:

Оскільки - лінійно незалежні (вони не компланарні), то це можливо за умови

Приклад.Накресліть довільний базис Побудуйте вектори , , і

 

 








Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 1450;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.003 сек.