Будь-яка система векторів, що складається з більшої кількості векторів, ніж розмірність простору Vn, буде лінійно залежною.

Означення 6. Лінійно незалежна система n-вимірних векторів називається максимальною, або повною, лінійно незалежною системою, якщо в результаті додавання до неї будь-якого відмінного від n-вимірного вектора вона стає лінійно залежною.

З розглянутого твердження випливає, що в n-вимірному просторі кожна лінійно незалежна система, яка складається з n векторів, буде максимальною, а також будь-яка максимальна, лінійно незалежна система векторів у цьому просторі складається з n векторів.

Означення 7. Базисом векторного простору V_n називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так, систему векторів:

можна розглядати як базис простору V₃.

Розглянемо дві системи векторів:

, (1.2)

. (1.3)

Система векторів (1.3) лінійно виражається через систему векторів (1.2), якщо кожний із них є лінійною комбінацією системи (1.2), тобто .

Означення 8. Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них виражається лінійно через іншу.

Означення 9. Кількість векторів, що входять до будь-якої максимальної лінійно незалежної підсистеми даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

Ранг системи векторів має відповідний зв’язок з рангом матриці. Якщо, наприклад, із компонентів векторів системи (1.2) утворити матрицю , то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і вказуватиме на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпців) цієї матриці. Отже, з рангом можна пов’язати і максимальну кількість лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.

2. Зв’язок між базисами

Простір V_n має базис:

. (1.4)

Якщо взяти довільний вектор , то з максимальності лінійно незалежної системи векторів (1.4) випливає, що

, (1.5)

де хоча б одне з a_і відмінне від нуля.

Отже, вектор є лінійною комбінацією векторів базису. Можна показати, що вираз (1.5) — єдиний для вектора .

Нехай у просторі V_n задано два базиси:

(1.6)

. (1.7)

Кожен вектор нового базису (1.7) однозначно можна аналогічно (1.5) подати через базис (1.6) у вигляді

(1.8)

Означення 9. Матрицю , стовпцями якої є координати векторів нового базису (1.7) у старому базисі (1.6), називатимемо матрицею переходу від базису е до базису .

Якщо розглянути дві матриці е і , стовпцями яких є компоненти векторів відповідно старого е і нового базисів, то рівність (1.8) можна записати в матричному вигляді:

. (1.9)

Водночас, якщо — матриця переходу від базису (1.6) до базису (1.9), маємо рівність:

. (1.10)

Скориставшись (1.9) і (1.10), запишемо:

.

З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного базису до іншого завжди є невиродженою матрицею, а кількість базисів у V_n дорівнює кількості невироджених квадратних матриць. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до іншого взаємно обернені.

Нехай в V_n задано два базиси (1.6) і (1.7) з матрицею переходу . Зв’язок між координатами довільного вектора у цих двох базисах подається формулою:

. (1.11)

Помноживши рівність (1.11) зліва на матрицю , дістанемо:

, (1.12)

звідки можна визначити координати вектора в новому базисі .