Основні поняття

ЛЕКЦІЯ 7-8. N-ВИМІРНИЙ ВЕКТОРНИЙ ПРОСТІР

ПЛАН

1. Основні поняття

2. Зв’язок між базисами

3. Лінійні перетворення

4. Власні числа і власні вектори матриці

Основні поняття

Означення 1. Сукупність упорядкованих систем з n дійсних чисел, для яких визначено дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний векторний простір V_n.

Елементами заданого таким чином простору будуть впорядковані системи чисел, які називатимемо n-вимірними векторами і записуватимемо: . Числа a_i, i = 1, 2, 3, ..., n називаються компонентами вектора . Якщо розглянути ще один елемент простору V_n — вектор , то у просторі V_n можна виконувати такі дії.

Додавання двох векторів за правилом:

.

Множення вектора на число a, за правилом:

.

Означення 2. Два вектори і вважаються рівними, якщо виконуються рівності .

Роль нуля відіграє . З означень дій додавання і множення вектора на число випливають властивості:

Означення 3.Вектор називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують такі числа , що .

Означення 4. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа хоча б одне з яких відмінне від нуля, що виконується рівність

. (1.1)

Означення 5. Система векторів називається лінійно незалежною, коли всі , що виконується рівність

.