Виклад суті згаданого способу почнемо з визначника ІІ-го порядку.
Отже, нехай дано
.
Домножимо елементи І-го рядка на і почленно додамо до ІІ-го рядка.
де - знайдено за правилом прямокутника (див. 1.1). Таким чином, ми звели визначник до трикутної форми, і його значення дорівнює добутку діагональних елементів та коефіцієнта , тобто
(1)
Застосуємо подібні перетворення для обчислення визначників ІІІ-го порядку
Згідно з властивістю визначників 8 домножимо елементи І-го рядка на і додамо до відповідних елементів ІІ-го рядка. На місці елемента отримаємо . Аналогічно, знову домножимо елементи І-го рядка на і додамо до відповідних елементів ІІІ-го рядка. На місці - теж . Після цього співмножник знову введемо в І-ий рядок, тоді
(2)
де елементи . - знайдені за правилом прямокутника (див. 1.1).
За співвідношенням (1) для мінора, що входить в останній визначник (2), маємо
де , при цьому вважається, що .
Отже, останній визначник із рівності (2) зводиться до трикутного вигляду, тобто в результаті маємо таку послідовність перетворень за правилом прямокутника
(3)
Для визначника 4-го порядку послідовність основних перетворень за правилом прямокутника має такий вигляд
(4)
Очевидно, що при переході до визначника вищого порядку, наприклад, 5-го, ми можемо за правилом прямокутника і властивістю 8 утворити в першому стовпці, крім , нулі і звести задачу до обчислення визначника 4-го порядку.
(5)
Тепер подамо алгоритм обчислення визначників за правилом прямокутника
1. Елемент вважається провіднимі при цьому в супротивному випадку необхідно поміняти, із урахуванням знаку, стовпці або рядки місцями так, щоб елемент у першому рядку і першому стовпці був відмінним від нуля.
2. Перед визначником ставимо співмножник , де - порядок визначника, назвемо його поправочним коефіцієнтом. Значення показника степеня збігається з кількістю нулів, які будуть стояти в першому стовпці нижче елемента .
3. Елементи першого стовпця, що лежать нижче елемента , заміняємо нулями, а всі інші – перетворюємо за правилом прямокутника, в буквеному вигляді вони позначені одним штрихом.
4. Наступним провідним елементом вибираємо по діагоналі .
5. Вводимо в поправочний коефіцієнт співмножник - кількість нулів, що будуть після у другому стовпці.
6. Замінюємо елементи ІІ-го стовпця, що лежать нижче нулями, а всі інші - перетворюємо за правилом прямокутника, в буквеному вигляді вони позначаються двома штрихами.
7. Процес перетворення продовжується поки не зведемо визначник до трикутної форми.
8. Знайдений добуток діагональних елементів скорочуємо з поправочними коефіцієнтами.
Зауваження. Описаний алгоритм у випадку дробових, або багатоцифрових елементів надійніше виконувати з застосуванням контролю, як це викладено в (1.1)
Приклад 1. Обчислити визначник: а) за алгоритмом; б) за допомогою обчислювальної таблиці з контролем.
а)
б) Обчислювальна таблиця
Сума | Контроль | |||||
-1 | ||||||
-1 | ||||||
-4 | -11 | -10 | -10 | |||
-3 | ||||||
-2 | -8 | -2 | -12 | -12 | ||
Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 694;