Кривые второго порядка

Общий вид уравнения линии 2-го порядка:

a₁x²+a₂y²+a₃xy+a₄x+a₅y+a₆=0.

Рассмотрим различные формы линий 2-го порядка.

Уравнение окружности:

(x-x₀)²+(y-y₀)²=r² – нормальное уравнение окружности,

C(x₀, y₀) – центр окружности,

M(x,y) – произвольная точка окружности,

x²+y²+ax+by+g=0,

a=-2x₀;b=-2y₀; g=x₀²+y₀²-r².

Ax²+Ay²+Dx+Ey+F=0– общее уравнение окружности.

Действительная окружность при (a²+b²)/4-g³0, где a=D/A; b=E/A; g=F/A.

Таким образом, действительная кривая 2-го порядка является окружностью тогда и только тогда, когда:

1) коэффициенты при квадратах текущих координат равны между собой;

2) отсутствует член, содержащий произведение текущих координат.

Центральные кривые 2-го порядка – кривые, имеющие собственный центр симметрии.

A(x-x₀)²+C(y-y₀)²=D, A¹C.

O(x₀, y₀) – центр симметрии кривой;

x=x₀, y=y₀ – оси симметрии кривой.

Пусть x₀=0 и y₀=0.

Кривая 2-го порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициенты A и C имеют одинаковые знаки, т.е. AC>0.

Пусть A>0 и C>0, тогда если:

● D>0 – действительный эллипс, x²/a²+y²/b²=1–каноническое уравнение эллипса;

● D=0 – вырожденный эллипс (кривая вырождается в точку);

● D<0 – мнимый эллипс.

Кривая 2-го порядка является кривой гиперболического типа, если коэффициенты A и C имеют противоположные знаки, т.е. AC<0.

Пусть A>0, тогда C<0:

● если D>0 – гипербола (рис. 7), x²/a²-y²/b²=1–каноническое уравнение гиперболы;

● если D=0 – вырожденная гипербола представляет собой пару пересекающихся прямых

;

(y-y₀)²=2p(x-x₀) – парабола, O(x₀, y₀) – вершина параболы,
P – параметр параболы.

Если вершина параболы находится в начале координат и p>0, то y²=2px – каноническое уравнение параболы.