Взаимное расположение графических элементов на плоскости

1. Три точки p₁, p₂, p₃ коллинеарны, т.е. лежат на одной прямой, если

(p - a) ◦ (b - p)= |p - a|·|b - p| ,

.

Взаимное расположение прямых.

1. Две прямые совпадают, если F₁× F₂ =0₃ (векторное произведение равно нулевому вектору).

2. Две прямые параллельны, если

3. Две прямые ортогональны, если N₁◦ N₂=0 или V₁◦ V₂=0.

Взаимное расположение точки и прямой

1. Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки
q=[q_x, q_y] на прямую, выглядит следующим образом:

(НФ): N_y(x-q_x)-N_x(y-q_y)=0,

(ПФ): p_┴(t)=q+Nt или p_┴(t)=q+V_┴t , где V_┴=[V_y, -V_x]=N.

2. Расстояние от точки q до прямой равно:

3. Зеркальное отражение точки q относительно прямой лежит на перпендикуляре к прямой на расстоянии 2d от q в сторону, противоположную проекции вектора q-p₀ на нормаль N:

Пересечение двух прямых.

Пусть имеются две прямые, заданные уравнениями в НФ:

A₁x+B₁y+D₁=0 и A₂x+B₂y+D₂=0,

тогда координаты точки пересечения вычисляются следующим образом:

Возможны следующие три случая:

1. A₁B₂-A₂B₁≠0, т.е. A₁/A₂≠B₁/B₂ – прямые не параллельны, точка пересечения единственная и ее координаты вычисляются по вышеприведенным формулам.

2. A₁B₂-A₂B₁=0, D₁B₂-D₂B₁≠0 или A₁D₂-A₂D₁≠0 – прямые параллельны и точек пересечения нет.

3. A₁B₂-A₂B₁=0, D₁B₂-D₂B₁=0 и A₁D₂-A₂D₁=0, т.е. прямые совпадают во всех точках.

Угол между двумя пересекающимися прямыми находится как угол между векторами нормали или направляющими векторами Ð(N₁, N₂) = Ð(V₁, V₂).