Сплайны. Кривые Безье

Сплайн – гладкая кривая, которая проходит через две или более опорных точек, а также имеет расположенные вне ее управляющие точки, влияющие на форму сплайна. Наиболее общие типы сплайнов – кривые Безье и B-сплайны (B-spline curves). Типичным примером сплайнов являются также неоднородные рациональные B-сплайны (Non-Uniform Rational B-Spline – NURBS). Сплайны состоят из вершин (Vertices) и сегментов (Segments). Каждая вершина сплайна имеет касательные векторы (Tangents), снабженные на концах управляющими точками, или маркерами (Handels). Маркеры касательных векторов управляют кривизной сегментов сплайна при входе в вершину, которой принадлежат касательные векторы, и выходе из нее.

Кривые Безьеразработаны математиком Пьером Безье. Кривые и поверхности Безье использовались в 60-х годах компанией "Рено" для компьютерного проектирования формы кузовов автомобилей. В настоящее время они широко используются в компьютерной графике.

Кривые Безье описываются в параметрической форме:

x=P_x(t), y=P_y(t).

Значение t выступает как параметр, которому отвечают координаты отдельной точки линии.

Многочлены Безье для P_x и P_y имеют следующий вид:

где C_mⁱ – сочетание m по i, а x_i, y_i – координаты точек ориентиров P_i. Значение m можно рассматривать и как степень полинома, и как значение, которое на единицу меньше количества точек-ориентиров.

Рассмотрим кривые Безье, классифицируя их по значени-
ям m.

m=1 (по двум точкам). Кривая вырождается в отрезок прямой линии, определяемой концевыми точками P₀ и P₁. Параметрическое уравнение:

P(t)=(1-t)P₀ + tP₁.

m=2 (по трем точкам). Параметрическое уравнение:

P(t)=(1-t)²P₀ + 2t(1-t)P₁ + t²P₂.

m=3 (по четырем точкам – кубическая). Используется довольно часто, в особенности в сплайновых кривых. Параметрическое уравнение:

P(t)=(1-t)³P₀ + 3t(1-t)²P₁ + 3t²(1-t)P₂ + t³P₃.

Геометрический алгоритм для кривой Безье позволяет вычислить координаты (x, y) точки кривой Безье по значению параметра t (рис. 9).

1. Каждая сторона контура многоугольника, проходящего по точкам-ориентирам, делится пропорционально значению t.

2. Точки деления соединяются отрезками прямых и образуют новый многоугольник. Количество узлов нового контура на единицу меньше, чем количество узлов предыдущего контура.

3. Стороны нового контура снова делятся пропорционально значению t и т.д. Это продолжается до тех пор, пока не будет получена единственная точка деления – точка кривой Безье.

Сегмент кривой Безье 3-го порядка описывается положением четырех точек. Две из них являются опорными (узлами кривой): начальная точка P₀(x₀, y₀) и конечная P₃ (x₃, y₃). Точки P₁(x₁, y₁) и P₂(x₂, y₂), определяющие положение касательных относительно отрезка, называются управляющими. Метод построения кривой Безье основан на использовании пары касательных (управляющих линий), проведенных к сегменту кривой в его окончаниях. На форму кривой влияют угол наклона касательной и длина ее отрезка.

Параметрическое уравнение Безье описывает положение точек и, тем самым, форму кривой. Уравнение решают относительно параметра t, принимающего значения от 0 (в начальной точке) до 1 (в конечной точке). При построении сегмента кривой Безье на плоскости рассчитывают координаты x и y (для четырех точек, из них двух управляющих):

R(t)=P₀(1-t)³ + P₁t(1-t)² + P₂t²(1-t) + P₃t³, где 0<t<1;

x(t)=a_xt³ + b_xt² + c_xt + x₀;

x₁=x₀ + (c_x:3); x₂=x₁+ [(c_x+b_x):3]; x₃=x₀ + c_x + b_x + a_x;

y(t)= a_yt³ + b_yt² + c_yt + y₀;

y₁=y₀ + (c_y:3); y₂=y₁+ [(c_y+b_y):3]; y₃=y₀ + c_y + b_y + a_y.

Следовательно:

c_x=3(x₁-x₀); b_x=3(x₂-x₁)-c_x; a_x=x₃ - x₀ - c_x - b_x;

c_y=3(y₁-y₀); b_y=3(y₂-y₁)-c_y; a_y=y₃ - y₀ - c_y - b_y.

Значение t определяет степень влияния точек на форму кривой. Например, при t=0,333 наибольший "вес" приобретает точка P₁, а при t=0,666 – точка P₂. Из приведенных уравнений вытекает, что кривая может проходить лишь через начальную и конечную опорные точки сегмента (P₀, P₃). Тем самым достигаются простота описания и стабильность кривой Безье.

Кривые Безье обладают рядом свойств, определяющих возможность их использования в векторной графике. С геометрической точки зрения, производной кривой Безье будет другая кривая Безье, векторы управляющих точек которой определяются вычислением разностей векторов управляющих точек исходной кривой.

Основные свойства кривой Безье:

● непрерывность заполнения сегмента между начальной и конечной точками;

● кривая всегда располагается внутри фигуры, образованной линиями, соединяющими контрольные точки;

● при наличии только двух контрольных точек сегмент представляет собой отрезок прямой линии;

● прямая линия образуется при коллинеарном (на одной прямой) размещении управляющих точек;

● кривая Безье симметрична, т.е. обмен местами между начальной и конечной точками (изменение направления траектории) не влияет на форму кривой;

● масштабирование и изменение пропорций кривой Безье не нарушает ее стабильности, так как она, с математической точки зрения, "аффинно инвариантна";

● изменение координат хотя бы одной из точек ведет к изменению формы всей кривой Безье;

● степень кривой всегда на единицу меньше числа опорных точек (т.е. при трех опорных точках форма кривой - парабола);

● размещение дополнительных опорных точек вблизи одной позиции увеличивает ее "вес" и приводит к приближению траектории кривой к данной позиции;

● окружность не может быть описана параметрическим уравнением кривой Безье;

● невозможно создать параллельные кривые Безье, за исключением тривиальных случаев (прямые линии и совпадающие кривые).

Лекция 10