Способы описания (модели) прямой линии

Неявное уравнение прямой задается тремя коэффициентами A, B и D, составляющими вектор F=[A, B, D]:

(НФ): Ax+By+D=0.

Хотя бы одно из чисел A или B должно быть ненулевым.

Если оба коэффициента ненулевые (A≠0 и B≠0), то прямая проходит наклонно к осям координат и пересекается с ними в точках (-D/A,0) и (0, -D/B).

При A=0, B≠0 уравнение By+D=0 описывает горизонтальную прямую y= –D/B .

При A≠0, B=0 уравнение Ax+D=0 описывает вертикальную прямую x= –D/A.

Прямая проходит через начало координат: f(0,0)=0 при D=0.

Благодаря свойству прямой разделять плоскость на две полуплоскости с противоположными знаками, неявное уравнение позволяет определять положение точки (точек) на плоскости относительно прямой:

1) точка q лежит на прямой, если f(q)=0;

2) точки a и b лежат по одну сторону от прямой, если f(a)∙f(b)>0;

3) точки a и b лежат по разные стороны от прямой, если f(a)∙f(b)<0.

Для построения прямой по неявному уравнению необходимо и достаточно иметь либо две несовпадающие точки p₀ и p₁, через которые она проходит, либо точку p₀ и направляющий вектор V, с помощью которого вторая точка p₁ вычисляется как p₁=p₀+V.

Из неявного уравнения прямой N=[A, B]Þ V=[-B, A].

Нормальное уравнение прямой – прямая описывается с помощью точки p₀ и вектора нормали N и выводится из условия ортогональности векторов N и (p-p₀) для всех точек p, принадлежащих прямой f(p)=N◦(p-p₀).

Неявная функция позволяет оценить положение точки p относительно вектора нормали прямой:

● при f(a)>0 точка a лежит в том же полупространстве, куда направлена нормаль, а угол Ð(a-p₀, N) острый;

● при f(b)<0 угол Ð(b-p₀, N) тупой, а точка b и нормаль находятся по разные стороны от прямой.

Параметрическая функция прямой p(t)=p₀+Vt, где
V=[-N_y, N_x] удобна для задания и построения частей прямой – отрезков и лучей. Для этого необходимо указать пределы изменения параметра t:

● бесконечный интервал -¥<t<¥ не ограничивает протяженность бесконечной прямой;

● при t³0 получается луч, выходящий из точки p₀ в бесконечность в направлении вектора V;

● конечный интервал t₀≤t≤t₁ определяет отрезок прямой между точками p₀+Vt₀ и p₀+Vt₁.

Благодаря левой ориентации направляющего вектора V относительно вектора нормали N эквивалентная нормальной форме функция

позволяет определить положение точки относительно направления движения по прямой:

● при f(a)>0 точка a лежит справа от точки p₀, так что угол Ð(a-p₀, V) положительный;

● при f(b)<0 угол Ð(b-p₀, V) отрицательный, а точка b лежит слева от точки p₀.

Неявная форма уравнения прямой, проходящей через две точки a=[a_x, a_y] и b=[b_x,b_y], выводится из условия принадлежности прямой этих точек и точки p=[x,y].

Выбрав направление движения по прямой от точки a к точке b, получим направляющий вектор V=b-a и параметрическую модель линии:

(ПФ): x(t)=a_x+(b_x-a_x)t, y(t)= a_y+(b_y-a_y)t или p(t)=a+(b-a)t.

Условие существования прямой очевидное: V≠0, т.е. a≠b.

При изменении параметра t от 0 до 1 движение точки происходит внутри отрезка ab от точки a до точки b.