Формула Бейеса (теорема гипотез)

Если до опыта вероятности гипотез были равны соответственно , а в результате опыта произошло событие , то новые (условные) вероятности гипотез вычисляются по формуле

(2.21)

Вероятности называются априорными (до опытными),

Вероятности - апостериорными (после опытными).

Формула Бейеса (2.21) дает возможность «пересмотреть» возможности (переоценить вероятности) гипотез с учетом результата испытания.

Пример. По каналу связи, на который могут действовать помехи, передается одна из двух кодовых комбинаций 111 или 000 с вероятностями 0,8 и 0,2 соответственно. Через помехи вероятность верного получения каждого из символов комбинации равна 0,6. Считается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. Определить, какая кодовая комбинация была отправлена, если получена – 000.

Решение.

Гипотезы - отправлена комбинация 111

- 000

По (2.20)

По (2.21)

Сравнив и , делаем вывод, что при полученной комбинации 000 вероятнее была отправлена комбинация 111.

Формула Бернулли

Если производится независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью , то вероятность того, что событие A произойдет в этих опытах ровно раз, выражается формулой Бернулли

, (2.22)

Формула (2.22) выражает так называемое биномиальное распределение вероятностей и применяется, как правило, если

Пример. Сообщение передается серией кодированных сигналов. В серии из десяти сигналов, вероятность получения каждого сигнала . Сообщение считается принятым, если из серии получено четыре сигнала. Какова вероятность принять переданное сообщение.

Решение.

Событие - сигнал принят,

Значение , при котором превышает или, по крайней мере, не меньше, вероятности остальных возможных исходов испытания называют наивероятнейшим,обозначают и определяют из двойного неравенства

(2.23)

При этом, если

- дробное, то существует одно наивероятнейшее число ;

- целое, то существует два наивероятнейших числа: и ;

- целое, то .

Пример.Вероятность того, что в течении одного дня на предприятии будет перерасход воды равна . Определить наиболее вероятное число дней в течении месяца (30-ти дней) с нормальным расходом воды.

Решение.

,

По (2.23)

Формула Пуассона

Если число независимых испытаний достаточно велико , а вероятность появления события в каждом испытании постоянна и мала , и , то вместо (2.22) используют асимптотическую формулу Пуассона

(2.24)

Пример. Радиоприбор состоит из 1000 элементов, которые работают независимо друг от друга. Каждый из них может выйти из строя с вероятностью 0,002. Вычислить вероятность того, что во время работы прибора из строя выйдут от 3 до 6 элементов.

Решение.