Гидродинамическое подобие
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ПЕЧНЫХ ГАЗОВ
Элементы теории подобия
Основные понятия
В современной науке и технике, когда необходимо решить какие-либо задачи, прежде всего, стремятся составить математические уравнения, описывающие эти задачи, и их решить. Если такие уравнения составить не удается или если они не решаемы, то для установления необходимых зависимостей между интересующими величинами проводят экспериментальные исследования. Однако в промышленности достаточно часто встречаются такие агрегаты, непосредственное исследование которых значительно затруднено или вообще невозможно. К таким агрегатам относятся и металлургические печи, работающие при высокой температуре рабочего пространства. В некоторых случаях единственно возможным методом исследования процессе», протекающих в рабочем пространстве, является метод исследования на модели печи. При этом процессы в модели должны быть подобны процессам, протекающим в печи. Для достижения этого необходимо, чтобы при создании модели и проведении опытов на ней были выдержаны условия, определяемые современной теорией подобия.
Какие условия необходимо соблюдать, чтобы добиться подобия двух физических явлений? Основными условиями, вытекающими из теории подобия, являются следующие:
1. Должны быть тождественны (одинаковы) безразмерные математические уравнения, описывающие два явления. Это условие говорит о том, что такие два явления должны быть прежде всего схожи между собой в самом общем виде. Можно, например, искать подобие между движением газа по трубопроводу большого диаметра и воды в водопроводной трубе. Это возможно, поскольку физическая природа этих двух явлений аналогична. Но бессмысленно искать подобие между движением жидкости по трубе и распространением тепла в твердом теле, потому что природа этих явлений различна и математические уравнения, их описывающие, не могут быть тождественны. Однако обязательной тождественности основных уравнений еще недостаточно для обеспечения подобия двух физических явлений. Необходимо еще соблюдение второго условия.
2. Кроме тождественности основных безразмерных уравнений, для соблюдения подобия необходимо подобие условий однозначности. Условиями однозначности являются такие условия, которые из массы явлений, природа которых аналогична и которые описываются аналогичными уравнениями, выделяют какое-то конкретное явление. Одним из таких условий является, например, геометрическое подобие двух рассматриваемых явлений. Но этого еще недостаточно. Рассматриваемое ниже уравнение Бернулли для течения реальной жидкости справедливо для огромного множества видов течения различных жидкостей. Что бы из этого множества течений выделить два подобных, необходимо (кроме геометрического подобия) подобие вязкостно-скоростных характеристик.
Справедливость обеспечения этих условий для достижения подобия может быть проиллюстрирована на примерах геометрического и гидродинамического подобия.
Остановимся сначала на той форме записи, которая используется в теории подобия. Вообще термин «подобие» заимствован из геометрии. При рассмотрении подобия двух треугольников АВС и А'В С' подобие в геометрии записывается так:
АВ/А' В' = ВС/В' С' = АС/ А' С' = с.
Величину с называют константой подобия. Она вполне определенна для каждой пары подобных треугольников. Однако подобных треугольников может быть сколько угодно много, поэтому форма записи подобия через константу подобия не является достаточно универсальной. Для получения более универсальной записи воспользуемся методом масштабных преобразований. Выберем в качестве единицы измерения не стандартную единицу, метр, как это было сделано при определении константы подобия, а какие-либо сходственные отрезки. Допустим, в подобных треугольниках АВС и А'В'С' единицами измерения являются стороны АС и А'С'. Тогда для этих треугольников можно написать:
АВ/АС = А' В'/А' С' = …= іАВ или ВС/АС =
= В' С'/А' С' = ... = іВС
Числа і остаются неизменными для всех подобных фигур и потому называются инвариантами подобия. Если константы подобия зависят от относительного размера подобных фигур, то инварианты подобия остаются неизменными для любого числа подобных фигур. Отрезки АС и А'С', выбранные в качестве единиц измерения, называют масштабами, отсюда и название «метод масштабных преобразований». С помощью метода масштабных преобразований можно показать, что уравнения, описывающие подобные системы после приведения их к безразмерному виду, тождественны. Как следует из теории подобия, тождественность безразмерных уравнений есть одно из главных условий подобия систем. Проиллюстрируем это следующим примером. Рассмотрим два подобных эллипса (рис. 1), которые описываются уравнениями
Чтобы привести уравнения эллипсов к безразмерному виду в качестве масштабов измерения, возьмем сходственные полуоси а и а1. Будем выражать инварианты подобия через X, Y, А, В. Таким образом,
Х = х/а; Y = у/а; А = а/а; В = b/а;
Х1 = х1/а; Y1 = у1/а1; А1= а1/а1; В1 = b1/а1;
Но поскольку эллипсы подобны, постольку равны их инварианты подобия, т. е.
X = X1, Y = Y1, A = A1, B = B1
Выразим каждую величину, входящую в основные уравнения эллипсов, через соответствующие инварианты подобия:
х = аХ; у = а Y; b = аВ;
х1= а1Х1; у1 = а1Y1; b1= а1В1.
Подставляя эти значения в основные уравнения и имея в виду, что А=А1=1, получаем тождественные уравнения для этих двух эллипсов:
Но соответствующие инварианты равны, поэтому для всех подобных эллипсов основные уравнения тождественны уравнению
Метод масштабных преобразований применим и к физическим явлениям, уравнения которых в отличие от геометрических уравнений включают величины, имеющие различную размерность. Поэтому при рассмотрении подобия физических явлений следует сравнивать величины с одинаковой равномерностью.
Гидродинамическое подобие
Для металлургической теплотехники наибольший интерес представляют гидродинамическое и тепловое подобия.
Если, подобно тому, как было сделано с уравнением эллипсов, привести к безразмерному виду основные уравнения гидродинамики, то для обеспечения подобия двух явлений необходимо равенство следующих безразмерных инвариантов подобия:
wl/v =w' l'/v' и Dр/(rw2) =Dр'/(r'w'2) ,
где w — скорость движения среды; l — линейный размер; v — коэффициент кинематической вязкости движущейся среды; r — плотность движущейся среды; Dр — разность давлений между двумя интересующими исследователя точками.
Такие безразмерные инварианты подобия получили название критериев подобия. Часто критерии подобия называют по фамилиям ученых, внесших большой вклад в развитие науки. Так, инвариант подобия wl/v называют критерием Рейнольдса и обозначают Rе, а инвариант Dр/(rw2) называют критерием Эйлера и обозначают Eu. Таким образом, из изложенного следует, что условиями гидродинамического подобия является равенство критерия образца (печи) и модели, т. е.
Rе = Rе' и Eu = Eu'.
При различных гидродинамических исследованиях чаще всего необходимо определить изменение давления в зависимости от изменения скорости течения и других факторов. Поэтому целью и результатом таких исследований является отыскание зависимости величины критерия Эйлера от величины критерия Рейнольдса, т. е.
Eu = f (Re)
Таким образом, в результате экспериментального исследования на модели какой-либо гидродинамической задачи, которую нельзя было решить ни математически, ни экспериментально непосредственно на агрегате, получаются эмпирические выражения типа
Eu = сRеn,
где с, п — коэффициенты, определенные из опыта.
Такие выражения пригодны для соответствующих расчетов как печи в целом, так и отдельных (исследованных на модели) ее элементов. Такая критериальная форма записи результатов экспериментального исследования предпочтительна своей универсальностью. В этом не трудно убедиться. Представим себе, что нас интересует зависимость разности давлений между двумя точками печи р1—р2=Dр от скорости движения среды w, ее вязкости v и расстояния между этими точками l. Проводя такие исследования без использования критериальной записи, пришлось бы измерять перепад давлений Dр, сначала изменяя величину w при постоянных v и l, затем изменяя величину v при постоянных w и l и т. д. Соответственно этому очень громоздкой и неудобной была бы некритериальная форма записи результатов, которая могла бы выглядеть примерно так:
Dр = сwп при v = const и l = const;
Dр = с' vn' при w = const и l = const
и т.д.
Такая форма записи требует нахождения очень многих опытных коэффициентов и практически исключает возможность определения величины Dр при одновременном изменении всех трех величин w, v и l, входящих в критерий Rе. Гораздо целесообразнее рассматривать зависимость перепада давлений Dр от критерия Rе в целом. Ведь одно и то же численное значение Dр возможно при различных комбинациях значений w, v и l. Следовательно, критериальная запись результатов эксперимента дает большое удобство и универсальность, так как достаточно изменять при проведении опытов значение Rе, чем охватывать всю область интересующих значений w, v и l без индивидуального поочередного их изменения с последующей обработкой опытных данных в громоздкой и неудобной для практического использования форме.
В силу отмеченных причин теорию подобия часто называют теорией эксперимента, подразумевая под этим возможность с применением теории подобия поставить достаточно точный (с точки зрения соответствия условиям, имеющим место на практике) и универсальный эксперимент, результатом которого явится эмпирическое уравнение, пригодное и удобное для практических расчетов.
Часто уравнение типа Eu=f(Rе) используется для записи результатов экспериментов на действующих печах. Это позволяет распространить результаты экспериментов на ряд подобных печей других размеров.
Необходимо подчеркнуть, что теория подобия позволяет заменить математическое решение задачи экспериментальным. Это означает, что вместо формулы, полученной математическим решением системы уравнений, с применением теории подобия можно получить эквивалентную эмпирическую критериальную формулу. Это общее положение справедливо для всего многообразия явлений, попадающих под термин «физическое подобие». Применительно к задачам металлургической теплотехники это относится как к гидравлическому подобию (о чем шла речь выше), так и к тепловому подобию, которое рассматривается ниже и является основой изучения широкого круга задач в области теплопередачи.
Моделирование
Моделирование в области механики газов с использованием положений теории подобия имеет ряд особенностей, главной из которых является то, что характер зависимости Eu=f(Rе) может быть весьма различным. В некоторых случаях начиная с определенного значения Rе критерий Eu перестает изменяться с изменением Rе. Подобное значение критерия Rе называют критическим. В области значений критерия Rе выше критического при увеличении Rе (иначе говоря, при возрастании скорости движения) характер движения не изменяется и поток (при различных Rе) остается подобен сам себе, как бы моделирует сам себя. Такую область называют автомодельной областью. В автомодельной области достижение подобия возможно при неравенстве значений Rе образца и модели. В этом случае процессы в модели подобны процессам в образце при обеспечении в модели числа Rе, несколько меньшего, чем Rекр. Понятие автомодельности широко используется в практике моделирования печей. Всякая модель печи создается в определенном геометрическом масштабе к образцу. Расход моделирующей среды (обычно воды или воздуха) определяется, исходя из равенства критериев Rе = Rе ', из которого находят скорость движения среды в модели:
(1)
Если использовать величины масштаба вязкости Мv = v'/v и линейного масштаба Мl = l1/l, то w1 = w Мv Мl.
В автомодельной области при Rе ≠ Rе1; можно использовать понятие масштаба чисел Rе, т. е. МRе =Re1/Rе.
При этом выражение для скорости движения среды в модели имеет вид
w1 = Мv Мl МRе. (2)
Поскольку МRе обычно значительно меньше единицы, постольку скорость движения среды, подсчитанная по выражению (2), меньше значения, подсчитанного по выражению (1). Это обстоятельство является очень важным для практики моделирования, так как позволяет работать с меньшим расходом моделирующей среды, который, как известно, равен V1 = w1f1, где f1 — сечение модели, которому соответствует скорость w1.
Полученные на модели результаты (например, перепады давлений между выбранными точками) можно перенести на образец, используя равенство критериев Эйлера.
Дата добавления: 2015-11-10; просмотров: 2326;