Гидродинамическое подобие

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ПЕЧНЫХ ГАЗОВ

Элементы теории подобия

Основные понятия

В современной науке и технике, когда необходимо решить какие-либо задачи, прежде всего, стремятся составить математические уравнения, описывающие эти задачи, и их решить. Если такие уравнения составить не удается или если они не решаемы, то для установления необходимых зависимостей между интересующими величинами проводят экспери­ментальные исследования. Однако в промышленности достаточно часто встречаются такие агрегаты, непосредственное исследование которых значительно затруднено или вообще невозможно. К таким агрегатам относятся и металлургические печи, работающие при высокой темпера­туре рабочего пространства. В некоторых случаях единственно возмож­ным методом исследования процессе», протекающих в рабочем про­странстве, является метод исследования на модели печи. При этом про­цессы в модели должны быть подобны процессам, протекающим в печи. Для достижения этого необходимо, чтобы при создании модели и про­ведении опытов на ней были выдержаны условия, определяемые совре­менной теорией подобия.

Какие условия необходимо соблюдать, чтобы добиться подобия двух физических явлений? Основными условиями, вытекающими из теории подобия, являются следующие:

1. Должны быть тождественны (одинаковы) безразмерные математические уравнения, описывающие два явления. Это условие говорит о том, что такие два явления должны быть прежде всего схожи между собой в самом общем виде. Можно, например, искать подобие между движением газа по трубопроводу большого диаметра и воды в водо­проводной трубе. Это возможно, поскольку физическая природа этих двух явлений аналогична. Но бессмысленно искать подобие между дви­жением жидкости по трубе и распространением тепла в твердом теле, потому что природа этих явлений различна и математические уравне­ния, их описывающие, не могут быть тождественны. Однако обязатель­ной тождественности основных уравнений еще недостаточно для обеспе­чения подобия двух физических явлений. Необходимо еще соблюдение второго условия.

2. Кроме тождественности основных безразмерных уравнений, для соблюдения подобия необходимо подобие условий однозначности. Условиями однозначности являются такие условия, которые из массы явлений, природа которых аналогична и которые описываются анало­гичными уравнениями, выделяют какое-то конкретное явление. Одним из таких условий является, например, геометрическое подобие двух рас­сматриваемых явлений. Но этого еще недостаточно. Рассматриваемое ниже уравнение Бернулли для течения реальной жидкости справедли­во для огромного множества видов течения различных жидкостей. Что­ бы из этого множества течений выделить два подобных, необходимо (кроме геометрического подобия) подобие вязкостно-скоростных харак­теристик.

Справедливость обеспечения этих условий для достижения подобия может быть проиллюстрирована на примерах геометрического и гидро­динамического подобия.

Остановимся сначала на той форме записи, которая используется в теории подобия. Вообще термин «подобие» заимствован из геомет­рии. При рассмотрении подобия двух треугольников АВС и А'В С' по­добие в геометрии записывается так:

АВ/А' В' = ВС/В' С' = АС/ А' С' = с.

Величину с называют константой подобия. Она вполне определенна для каждой пары подобных треугольников. Однако подобных треуголь­ников может быть сколько угодно много, поэтому форма записи подо­бия через константу подобия не является достаточно универсальной. Для получения более универсальной записи воспользуемся методом масштабных преобразований. Выберем в качестве единицы измерения не стандартную единицу, метр, как это было сделано при определении константы подобия, а какие-либо сходственные отрезки. Допустим, в подобных треугольниках АВС и А'В'С' единицами измерения являются стороны АС и А'С'. Тогда для этих треугольников можно написать:

АВ/АС = А' В'/А' С' = …= і_АВ или ВС/АС =

= В' С'/А' С' = ... = і_ВС

Числа і остаются неизменными для всех подобных фигур и потому называются инвариантами подобия. Если константы подобия зависят от относительного размера подобных фигур, то инварианты подобия ос­таются неизменными для любого числа подобных фигур. Отрезки АС и А'С', выбранные в качестве единиц измерения, называют мас­штабами, отсюда и название «ме­тод масштабных преобразований». С помощью метода масштаб­ных преобразований можно показать, что уравнения, описывающие подобные системы после приведе­ния их к безразмерному виду, тождественны. Как следует из теории по­добия, тождественность безразмерных уравнений есть одно из главных условий подобия систем. Проиллюстрируем это следующим примером. Рассмотрим два подобных эллипса (рис. 1), которые описываются урав­нениями

Чтобы привести уравнения эллипсов к безразмерному виду в ка­честве масштабов измерения, возьмем сходственные полуоси а и а₁. Будем выражать инварианты подобия через X, Y, А, В. Таким образом,

Х = х/а; Y = у/а; А = а/а; В = b/а;

Х₁ = х₁/а; Y₁ = у₁/а₁; А₁= а₁/а₁; В₁ = b₁/а₁;

Но поскольку эллипсы подобны, постольку равны их инварианты подобия, т. е.

X = X₁, Y = Y₁, A = A₁, B = B₁

Выразим каждую величину, входящую в основные уравнения эллип­сов, через соответствующие инварианты подобия:

х = аХ; у = а Y; b = аВ;

х₁= а₁Х₁; у₁ = а₁Y₁; b₁= а₁В₁.

Подставляя эти значения в основные уравнения и имея в виду, что А=А₁=1, получаем тождественные уравнения для этих двух эллипсов:

Но соответствующие инварианты равны, поэтому для всех подоб­ных эллипсов основные уравнения тождественны уравнению

Метод масштабных преобразований применим и к физическим явле­ниям, уравнения которых в отличие от геометрических уравнений вклю­чают величины, имеющие различную размерность. Поэтому при рассмот­рении подобия физических явлений следует сравнивать величины с оди­наковой равномерностью.

Гидродинамическое подобие

Для металлургической теплотехники наибольший интерес представ­ляют гидродинамическое и тепловое подобия.

Если, подобно тому, как было сделано с уравнением эллипсов, при­вести к безразмерному виду основные уравнения гидродинамики, то для обеспечения подобия двух явлений необходимо равенство следующих безразмерных инвариантов подобия:

wl/v =w' l'/v' и Dр/(rw²) =Dр'/(r'w'²) ,

где w — скорость движения среды; l — линейный размер; v — коэффи­циент кинематической вязкости движущейся среды; r — плотность дви­жущейся среды; Dр — разность давлений между двумя интересующими исследователя точками.

Такие безразмерные инварианты подобия получили название крите­риев подобия. Часто критерии подобия называют по фамилиям ученых, внесших большой вклад в развитие науки. Так, инвариант подобия wl/v называют критерием Рейнольдса и обозначают Rе, а инвариант Dр/(rw²) называют критерием Эйлера и обозначают Eu. Таким обра­зом, из изложенного следует, что условиями гидродинамического подо­бия является равенство критерия образца (печи) и модели, т. е.

Rе = Rе' и Eu = Eu'.

При различных гидродинамических исследованиях чаще всего необ­ходимо определить изменение давления в зависимости от изменения скорости течения и других факторов. Поэтому целью и результатом та­ких исследований является отыскание зависимости величины критерия Эйлера от величины критерия Рейнольдса, т. е.

Eu = f (Re)

Таким образом, в результате экспериментального исследования на модели какой-либо гидродинамической задачи, которую нельзя было решить ни математически, ни экспериментально непосредственно на аг­регате, получаются эмпирические выражения типа

Eu = сRеⁿ,

где с, п — коэффициенты, определенные из опыта.

Такие выражения пригодны для соответствующих расчетов как пе­чи в целом, так и отдельных (исследованных на модели) ее элементов. Такая критериальная форма записи результатов экспериментального ис­следования предпочтительна своей универсальностью. В этом не трудно убедиться. Представим себе, что нас интересует зависимость разности давлений между двумя точками печи р₁—р₂=Dр от скорости движения среды w, ее вязкости v и расстояния между этими точками l. Проводя такие исследования без использования критериальной записи, пришлось бы измерять перепад давлений Dр, сначала изменяя величину w при постоянных v и l, затем изменяя величину v при постоянных w и l и т. д. Соответственно этому очень громоздкой и неудобной была бы некри­териальная форма записи результатов, которая могла бы выглядеть примерно так:

Dр = сw^п при v = const и l = const;

Dр = с' vⁿ' при w = const и l = const

и т.д.

Такая форма записи требует нахождения очень многих опытных коэффициентов и практически исключает возможность определения ве­личины Dр при одновременном изменении всех трех величин w, v и l, входящих в критерий Rе. Гораздо целесообразнее рассматривать зави­симость перепада давлений Dр от критерия Rе в целом. Ведь одно и то же численное значение Dр возможно при различных комбинациях значений w, v и l. Следовательно, критериальная запись результатов эксперимента дает большое удобство и универсальность, так как достаточно изменять при проведении опытов значение Rе, чем охватывать всю область интересующих значений w, v и l без индивидуального по­очередного их изменения с последующей обработкой опытных данных в громоздкой и неудобной для практического использования форме.

В силу отмеченных причин теорию подобия часто называют теорией эксперимента, подразумевая под этим возможность с применением тео­рии подобия поставить достаточно точный (с точки зрения соответствия условиям, имеющим место на практике) и универсальный эксперимент, результатом которого явится эмпирическое уравнение, пригодное и удобное для практических расчетов.

Часто уравнение типа Eu=f(Rе) используется для записи резуль­татов экспериментов на действующих печах. Это позволяет распростра­нить результаты экспериментов на ряд подобных печей других раз­меров.

Необходимо подчеркнуть, что теория подобия позволяет заменить математическое решение задачи экспериментальным. Это означает, что вместо формулы, полученной математическим решением системы уравнений, с применением теории подобия можно получить эквивалент­ную эмпирическую критериальную формулу. Это общее положение справедливо для всего многообразия явлений, попадающих под термин «физическое подобие». Применительно к задачам металлургической теп­лотехники это относится как к гидравлическому подобию (о чем шла речь выше), так и к тепловому подобию, которое рассматривается ни­же и является основой изучения широкого круга задач в области тепло­передачи.

Моделирование

Моделирование в области механики газов с использованием поло­жений теории подобия имеет ряд особенностей, главной из которых является то, что характер зависимости Eu=f(Rе) может быть весьма различным. В некоторых случаях начиная с определенного значения Rе критерий Eu перестает изменяться с изменением Rе. Подобное значение критерия Rе называют критическим. В области значений критерия Rе выше критического при увеличении Rе (иначе говоря, при возрастании скорости движения) характер движения не изменяется и поток (при различных Rе) остается подобен сам себе, как бы моделирует сам себя. Такую область называют автомодельной областью. В автомодельной области достижение подобия возможно при неравенстве значений Rе образца и модели. В этом случае процессы в модели подобны процес­сам в образце при обеспечении в модели числа Rе, несколько меньше­го, чем Rе_кр. Понятие автомодельности широко используется в практике моделирования печей. Всякая модель печи создается в определенном геометрическом масштабе к образцу. Расход моделирующей среды (обычно воды или воздуха) определяется, исходя из равенства крите­риев Rе = Rе ', из которого находят скорость движения среды в модели:

(1)

Если использовать величины масштаба вязкости М_v = v'/v и линей­ного масштаба М_l = l₁/l, то w₁ = w М_v М_l.

В автомодельной области при Rе ≠ Rе₁; можно использовать понятие масштаба чисел Rе, т. е. М_Rе =Re₁/Rе.

При этом выражение для скорости движения среды в модели имеет вид

w₁ = М_v М_l М_Rе. (2)

Поскольку М_Rе обычно значительно меньше единицы, постольку скорость движения среды, подсчитанная по выражению (2), меньше зна­чения, подсчитанного по выражению (1). Это обстоятельство является очень важным для практики моделирования, так как позволяет рабо­тать с меньшим расходом моделирующей среды, который, как извест­но, равен V₁ = w₁f₁, где f₁ — сечение модели, которому соответствует скорость w₁.

Полученные на модели результаты (например, перепады давлений между выбранными точками) можно перенести на образец, используя равенство критериев Эйлера.