Подобие гидромеханических процессов

В гидравлике большую роль играет эксперимент, с помощью которого проверяются зависимости, полученные теоретическим путем. Во многих случаях с его помощью можно установить зависимости, которые на настоящем этапе развития науки теоретически получить не удается.

Многие крупномасштабные гидравлические устройства и сооружения выполнить в натуральную величину для проведения экспериментов невозможно из-за высокой стоимости, больших затрат труда и времени. Поэтому эксперимент часто выполняется на моделях. Он должен строиться таким образом, чтобы его результаты можно было бы с большой степенью достоверности перенести на натурные условия. Таким образом, моделирование должно быть научно обосновано.

Эти задачи позволяет решать теория гидромеханического подобия.

Два гидромеханических явления являются подобными, если соблюдаются три вида подобия: геометрическое, кинематическое и динамическое.

Геометрическое подобие: в геометрически подобных потоках все сходственные стороны должны быть пропорциональны, а сходственные углы равны (рис. 4.15).

Рис.4.15. Геометрическое и кинематическое подобие:

а − натура; b − модель

Коэффициент пропорциональности сторон на натуре и модели называется геометрическим масштабом C_L . Так для элемента трубопровода на рис. 4.15

. (4.44)

Масштаб моделирования площадей определяется как

. (4.45)

Масштаб моделирования объемов равен:

. (4.46)

Кинематическое подобие:в кинематически подобных потоках в сходственных точках в сходственные моменты времени скорости и ускорения

по модулю должны быть пропорциональны, а по направлению одинаковы.

Два промежутка времени t_н и t_м называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны масштабом времени .

Таким образом, в сходственных точках сечений 1−1 натурного и модельного потоков коэффициент пропорциональности скорости u_н и u_м должен быть одинаков и равен масштабу скорости :

. (4.47)

Масштаб ускорений определяется как:

. (4.48)

Динамическое подобие: в сходственных точках в сходственные моменты времени силы одной физической природы, действующие на жидкую частицу, должны быть пропорциональны по модулю и одинаковы по направлению.

Пусть заданы масштабы плотностей , вязкостей ,

давлений .

В жидкости могут действовать силы давления, трения (вязкости), тяжести и другие. Обозначим силы, действующие в натуре, через F, а на модели − f .

По определению, масштаб сил одинаковой физической природы должен быть одинаков:

, (4.49)

где одинаковый номер индекса имеют силы одинаковой физической природы.

Величину всех сил принято сравнивать с силой инерции, являющейся равнодействующей всех сил, действующих на частицу. Их масштаб равен:

. (4.50)

Приравняем (4.49) и (4.50):

или . (4.51)

Отношение силы любой физической природы к инерционной силе на

модели или в натуре, полученное в формуле (4.51), называется общим динамическим критерием подобия Ньютона (Newton). Частные критерии динамического подобия получаются из критерия Ньютона подстановкой

вместо сил F_i и f_i их формульных выражений.

Силы тяжести Gв натуре и на модели могут быть получены из выражений:

; .

Подставим эти выражения в общий критерий Ньютона (4.51):

или . (4.52)

Полученный критерий называется критерием Фруда.

Силы давления Рв натуре и на модели вычисляются как

; .

Подставим эти выражения в общий критерий Ньютона (4.51):

или . (4.53)

Полученный критерий (принято знаменатель делить на два) называется критерием Эйлера.

Силы вязкости Т в натуре и на модели вычисляются по формулам:

; .

В эти формулы входят отношения дифференциалов du и dL. Выразим их через отношения самих величин:

; ; .

Подставим эти выражения в общий критерий Ньютона (в гидромеханике принято в этом случае относить, наоборот, силы инерции к силам вязкости):

.

Произведя сокращения и учтя, что , получим:

(критерий подобия Рейнольдса). (4.54)

Все критерии подобия – безразмерные величины.

Выполнить одновременно все эти критерии трудно; поэтому обычно при моделировании добиваются равенства на модели и в натуре критерия, который в данном случае является наиболее важным (определяющим).

Рассмотрим, например, как выбирается масштаб скорости в зависимости

от того, какой критерий является определяющим.

Определяющий критерий – критерий Фруда:

Пусть на модели и в натуре ускорение силы тяжести одинаково (это, как правило, соблюдается всегда при изучении явлений, происходящих в земных условиях): .

; ; ; .

Определяющий критерий – критерий Эйлера:

; ; .

Определяющий критерий – критерий Рейнольдса:

; ; .

Обычно для безнапорных течений моделирование производится по критерию Фруда, при напорных – по критерию Рейнольдса или Эйлера.

Часто критерий Эйлера при выполнении условия равенства по критерию Re

не является определяющим − равенство выполняется автоматически. В ряде случаев критерий Eu является определяющим (например, при моделировании кавитации).

Кроме рассмотренных критериев, в гидромеханике существуют и другие,

например, критерии Струхаля Sh, Архимеда Ar, Вебера We и др.

Режимы течения

Движение жидкости может происходить, как впервые отметил Г.Хаген (1869 г.), в двух качественно различных режимах – ламинарном и турбулентном. Детальные экспериментальные исследования режимов выполнил О.Рейнольдс (1883 г.). Вводя струйку краски в поток, протекающий по трубе, он визуально определял форму линий тока; при этом измерялись расход и путевые потери на мерном участке трубы (рис. 4.16).

При малых скоростях линии тока параллельны оси трубы; движение происходит параллельными слоями (рис. 4.16, а). Такой режим движения называется ламинарным. При увеличении скорости линии тока вначале начинают искривляться, а затем происходит переход к беспорядочному, хаотическому движению с пересечением линий тока и перемешиванием

(рис. 4.16, b). Такой режим называется турбулентным. Смена режимов приводит к увеличению темпа роста путевых потерь при увеличении расхода.

Исследования показали, что наличие того или иного режима связано с численным значением критерия (здесь за характерную длину L принят диаметр трубы d): при (нижнее критическое число Re) режим ламинарный, при Re > 2300 начинается переход к турбулентному режиму; после достижения некоторого значения Re (верхнее критическое число Re)режим полностью турбулентный. Более поздние исследования показали, что как нижнее, так и верхнее критические значения Re зависят от многих причин и могут колебаться (нижнее – от 1000 до 2300, верхнее – от 3500 до

40 000). Для переходного режима надежных расчетных формул для определения гидравлических потерь не существует; поэтому на практике принято считать при Re ≤ 2300 режим ламинарным, при Re > 2300 – турбулентным.