Свойства комплексных чисел

Глава 1. Комплексные числа

Основные понятия

Первоначальные данные о числе относятся к эпохе каменного века – палеомелита. Это «один», «мало» и «много». Записывались они в виде зарубок, узелков и т.д. Развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия. Первыми появились натуральные числа N, получаемые при счете предметов. Затем, наряду с необходимостью счета, у людей появилась потребность измерять длины, площади, объемы, время и другие величины, где приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 веке. Множество целых чисел Z – это натуральные числа, натуральные со знаком минус и нуль. Целые и дробные числа образовали совокупность рациональных чисел Q, но и она оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Бытие снова показало несовершенство математики: невозможность решить уравнение вида х² = 3, в связи с чем появились иррациональные числа I. Объединение множества рациональных чисел Q и иррациональных чисел I – множество действительных (или вещественных) чисел R. В итоге числовая прямая заполнилась: каждому действительному числу соответствовала на ней точка. Но на множестве R нет возможности решить уравнение вида х² = – а². Следовательно, снова возникла необходимость расширения понятия числа. Так в 1545 году появились комплексные числа. Их создатель Дж. Кардано называл их «чисто отрицательными». Название «мнимые» ввел в 1637 году француз Р. Декарт, в 1777 году Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i для обозначения мнимой единицы. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. В течение 17 – 18 веков продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, их геометрического истолкования. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой, а вектором, идущим в эту точку из начала координат.

Лишь к концу 18 – началу 19 века комплексные числа заняли достойное место в математическом анализе. Первое их использование – в теории дифференциальных уравнений и в теории гидродинамики.

Определение 1.Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел (x, y), для которых определены равенства и операции сложения и умножения по следующим правилам:

1) (x₁, y₁) = (x₂, y₂) тогда и только тогда, когда x₁ = x₂, y₁ = y₂,

2) (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂),

3) (x₁, y₁) · (x₂, y₂) = (x₁ x₂ – y₁ y₂, x₁ y₂ + x₂ y₁).

Обозначение комплексного числа z = (x, y), множества всех комплексных чисел – С.

Свойства комплексных чисел

1. Переместительный закон сложения: z₁ + z₂ = z₂ + z₁

2. Ассоциативный или сочетательный закон: z₁ + (z₂ + z₃) = (z₁ + z₂) + z₃

3. Переместительный закон умножения: z₁ · z₂ = z₂ · z₁

4. Распределительный закон: z₁ · (z₂ + z₃) = z₁ z₂ + z₁ z₃

Операции вычитания и деления вводятся как обратные к операциям сложения и умножения:

– разностью двух чисел z₁ и z₂ называется число z₃ такое, что сумма z₃ и z₂ равна z_1, т.е. z₁ – z₂ = z₃: z₁ = z₂ + z₃,

– частным двух чисел z₁ и z₂ называется число z₃ такое, что произведение z₃ и z₂ равно z_1, т.е. : z₁ = z₂ · z₃.

Определение 2.Комплексным нулем называется число z = (0, 0).

Для каждого комплексного числа вида z = (x, 0)справедливо, что z = (x, 0)=х, где .

Следовательно, любое действительное число можно представить в виде комплексного числа, т.е

Определение 3.Сопряженным к комплексному числуz = (x, y) называется комплексное число

Определение 4.Мнимой единицей называется комплексное числоz = (0, 1) = i.

i² = – 1.

Пояснение:

i² = (0, 1) · (0, 1) = (по правилу 3 определения 1) = (0·0 –1·1, 0·1 + 1·0) = (–1, 0) = (по определению (x, 0)=х) = – 1.

Для каждого комплексного числа вида (0, y) справедливо, что (0, y) = iy, где , так как (0, y) = (0, 1) · (y, 0) = iy.

Парой действительных чисел (x, y) обозначаются координаты точки на плоскости или координаты вектора, т.е. между множеством векторов на плоскости и множеством комплексных чисел можно установить взаимно-однозначное соответствие: .

При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Определение 5.Действительной частью комплексного числа z = (x, y) называется действительное число х.

Обозначение:x = Rez (от латинского Realis).

Определение 6.Мнимой частью комплексного числа z = (x, y) называется действительное число y.

Обозначение: y = Imz(от латинского Imaginarius).

Rez откладывается на оси (Ох), Imz откладывается на оси (Оy), тогда вектор , соответствующий комплексному числу z = (x, y) – это радиус-вектор точки (Rez, Imz) (рис. 1).

Определение 7.Плоскость, точкам которой поставлено в соответствие множество комплексных чисел, называется комплексной плоскостьюили плоскостью Гаусса.

Обозначение – (z), С.

Определение 8.Модулем комплексного числа z = (x, y) называется длина вектора : , т.е.

Определение 9.Аргументом комплексного числа z = (x, y) называется угол между положительным направлением оси (Ох) и вектором : .

Из рисунка 1 видно, что .

Определение 10.Главным значением называется то его значение, которое удовлетворяет неравенству

Аргумент комплексного числа находится по формуле:

Замечание 1. Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Всякий угол, отличающийся от на слагаемое, кратное , обозначается Arg ,

Замечание 2.В некоторых задачахглавным значением можно взять то его значение, которе удовлетворяет неравенству