Теорема Винера-Хинчина.

При изучении детерминированных сигналов мы использовали гармони-ческий анализ. Однако в отношении случайных процессов непосредственное использование классического гармонического анализа невозможно, т.к.

1). Реализации случайного процесса x_k(t) не удовлетворяют условию аб-солютной интегрируемости

2). Для случайного процесса x(t) частотный спектр также является слу-чайной функцией.

Но можно обобщить гармонический анализ, усредняя спектральные раз-ложения, полученные для отдельных реализаций.

Для этого введем новую функцию , совпадающую на интервале с реализацией x_k(t) случайного процесса, а за пределами этого ин-тевала равную нулю:

x_k(t)

0

при

при

Преобразование Фурье для этой функции:

Средняя мощность сигнала

С другой стороны, средняя мощность через частотный спектр:

Функция называется спектральной плотностью мощности реализации по спектру частот.

Для определения спектральной плотности совокупности реализаций не-обходимо провести усредненное по ансамблю возможных значений функции

·

m_z – мат. ожидание

k_k(t₁t₂) – корр. Функция

т.к.

то:

корр. функция выражает связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени.

Переходя к пределу при , получим:

Т.o., спектральная плотность , являющаяся усредненной характери-стикой совокупности реализаций случайного процесса, представляет собой прямое преобразование Фурье для корр. функции.

Фурье для корр. функции.

Обр. преобр. Фурье:

Эти преобразования, связывающие функции и называется преобразованием Хингина-Винера.

Если вместо круг. частоты введем частоту в герцах f, то эти выражения примут вид:

Так как для стационарных эргодических процессов усреднение по множе-ству может быть заменено усреднением по времени, то функция мо-жет быть представлена в виде

Таким образом энергетический спектр стационарного случайного процес-са может быть вычислен двумя путями:

а) непосредственным наблюдением одной реализации x_k(t) и нахождением предела (*).

б) нахождение преобразования Фурье коорр.-ной функции;

Для выяснения физического смысла функции примем в :

А т.к. К(0) выражает мощность сигнала, то дает усредненную энергетическую картину распределения мощности сигнала по частотному спектру.

Рассмотрим случай, те есть когда спектральная плотность мощности равномерна на всех частотах спектр называется «белым шумом».

( - предел прямоугольного импульса длительности и высота при ).

Таким образом корр. функция белого шума выражается - функцией:

¥ при t=0

K(t) =

0 при t¹0

Белый шум x(t) характеризуется тем, что значения x(t) в любые два момента времени некоррелированы. Такой случайный процесс называется абсолютно случайным.

Белый шум в точном смысле является идеальным, не встречающимся в реальных условиях, потому что:

1). Достаточно близкие значения случайной функции практически всегда зависимы;

2). Реальные процессы имеют конечную мощность, а для белого шума полная мощность процесса бесконечна.

Но: во многих случаях такая идеализация упрощает мат. Анализ и не вносит существенных погрешностей.

Спектры реальных процессов ограничены полосой частот из-за ограниченности полосы пропускания реальных каналов связи.

Если белый шум пропустить через идеальный фильтр низких частот с граничными частотами =0, , то на выходе получим шум с ограниченным спектром.

G( )

G₀

0

v_b

,

где P₀=G₀v_b - средняя мощность процесса

t

0

t₀

Следовательно, ограничение спектра вызывает появление кореляции, причем по мере сокращения полосы частот W_э=v_b интервал кореляции увеличивается.

В случае, если для случайного процесса спектр непрерывен и сосредоточен около некоторой фиксированной частоты v₀, причем выполняется условие

1,

то такой процесс называется узкополосным.