Связь дифференциала дуги траектории с криволинейными координатами

При естественном способе задания движения точки ее траектория может задаваться с использованием криволинейных координат.

Параметрическое задание траектории в таком случае имеет вид

, , , ,

где

— дважды непрерывно дифференцируемые на промежутке функции.

Для того чтобы перейти к естественному способу задания движения, требуется построить естественную параметризацию траектории.

Для этого, как показано в §2, необходимо определить связь длины дуги с параметром , являющимся внутренней переменной заданной траектории.

Искомая связь будет установлена, если укажем зависимость дифференциала длины дуги от дифференциала внутренней переменной.

С целью решения поставленной задачи построим параметризацию траектории, заданной параметрически функциями .

Параметризацию получим, если подставим в (1.5.1):

(1.5.1)

вместо криволинейных координат координатные функции , соответственно.

В результате придем к следующему векторному соотношению

, (1.5.13)

которое при каждом значении задает положение в пространстве точки , имеющей криволинейные координаты на заданной траектории.

А тогда можем записать

,

где — линейное перемещение точки по кривой .

Из (1.5.13) находим

,

и, следовательно,

. (1.5.14)

Здесь

— метрические коэффициенты основной
системы координат,

и — коэффициенты Ламе.

Все коэффициенты вычисляются в произвольном положении точки на заданной кривой.

Если не фиксировать траекторию точки (считать ее произвольной), то, учитывая, что линейное перемещение связано с линейными перемещениями криволинейных координат соотношением

,

получим следующее выражение для дифференциала дуги на любой траектории:

В нем следует положить

, , ,

в том случае, когда траектория фиксирована и определяется криволинейными координатами

, , .

В результате такой замены придем к соотношению (1.5.14)

. (1.5.14)