Определение 6. Если основная система координат ортогональна при любых значениях из области , то криволинейные координаты называются ортогональными.

Если основная система координат ортогональна при любых значениях из области , то криволинейные координаты называются ортогональными.

Справедливо следующее утверждение.

Криволинейные координаты ортогональны тогда и только тогда, когда при любых из области выполняются условия

, , . (1.5.9)

Утверждение очевидно.

Следует отметить, что условия (1.5.9) ортогональности криволинейных координат должны выполняться при любых значениях криволинейных координат из области .

Иначе говоря, равенства (1.5.9) должны быть справедливы в любом положении точки .

Этот вывод вытекает из определения 6 ортогональных криволинейных координат.

Но данное требование равносильно тому, что соотношения (1.5.9) должны выполняться в любой точке , имеющей координаты .

Поэтому при вычислении векторов и по формулам (1.5.5)

, , (1.5.5)

можно заменить в (1.5.5) координаты точки на координаты точки .

Такое действие позволяет исключить индекс «0» в обозначении аргументов при вычислении производных от вектор-функции в формулах (1.5.6)

(1.5.6)

и требовать от равенств (1.5.9), чтобы они выполнялись при любых значениях .

С учетом сказанного условия (1.5.9)

, , , (1.5.9)

в скалярной форме примут вид:

,

, , при .

К ним следует присоединить условие (1.5.2) некомпланарности векторов :

,

причем:

– если тройка векторов правая, то

– если тройка векторов левая, то

.

Ниже, в Дополнении к §5 в пункте 6 дается понятие линейных перемещений точки, а также линейных перемещений в различных координатах (декартовых, контравариантных и криволинейных). Описывается их связь между собой.