Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пример 1. Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) и критические точки функции .

Решение. Данная функция определена при x > 0. Находим ее производную: . Из условия , найдем стационарные точки. . Эти точки разбивают область определения функции на интервалы . В первом из них , а во втором . Это означает, что в интервале (0; 0,5) данная функция убывает, а в интервале (0,5; +¥) – возрастает.

Определение 4 Точка х₁ называется точкой локального максимума функции , если для любых достаточно малых выполняется неравенство .

Определение 5 Точка х₂ называется точкой локального минимума функции , если для любых достаточно малых выполняется неравенство .

Определение 6 Точка максимума и минимума называется точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции ее экстремальными значениями.

Теорема 1(необходимый признак локального экстремума)

Если функция имеет в точке х = х₀ экстремум, то либо , либо не существует.

Эта теорема имеет следующий геометрический смысл. Если х₁, х₂ и х₃ – точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные параллельны оси Ох. Эти точки и называются стационарными точками; мы будем называть их точками возможного экстремума.

Если точка х₀ – точка возможного экстремума, т.е. , то она может и не быть точкой локального максимума или минимума. Например, если при , но, тем не менее, в точке х = 0 нет локального экстремума. Установим достаточное условие существования локального экстремума.

Теорема 2(первый достаточный признак локального экстремума)

Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку х = х₀, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки х₀). Если при , а при производная , то при х = х₀ функция имеет максимум. Если же при , а при , то при х = х₀ данная функция имеет минимум.

Схема исследования функции на экстремум с помощью первой производной может быть записана в виде таблицы.

Числовые промежутки	(-∞; x0)	x0	(x0; +∞)
Знаки производной:	+		-
Поведение функции:

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. . Из условия , находим критические точки х₁ = -1 и х₂ = 0 (точка разрыва).

Числовые промежутки	(-∞; -1)	-1	(-1; 0)		(0; +∞)
Знаки производной:	+		-		+
Поведение функции:		-		-

Значит точка х = -1 является точкой локального максимума, а точка х = 0 – точка локального минимума.

Теорема 3(второй достаточный признак локального экстремума функции)

Пусть функция дважды дифференцируема и . Тогда в точке х = х₀ функция имеет локальный максимум, если , и локальный минимум, если .

В случае, когда , точка х = х₀ может и не быть экстремальной.

Пример 3. С помощью второй производной исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Вычисляем значения второй производной в этих точках: , т.е. х₁ = 0 – точка минимума; , т.е. х₂ = 2 – точка максимума;

.

На отрезке функция может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале , либо на концах отрезка .

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Обе эти точки принадлежат интервалу (-2;3). Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезках: у(-1) = 5, у(1) = 1, у(-2) = 1, у(3) = 21. Сравнивая полученные числа, получаем наименьшее значение в точках х₁= 1 и х₂ = -2, а наибольшее значение – в точке х₃ = 3. Значит .

Определение 7 Кривая, заданная функцией , называется выпуклой в интервале (а;b), если все точки кривой лежат не выше любой ее касательной в этом интервале, и вогнутой в интервале (a;b), если все ее точки лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале.

Определение 8 Точка кривой , отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба кривой. Предполагается, что в точке М существует касательная.

Теорема 4(достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции)

Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна (положительна), т.е. , то кривая в этом интервале выпукла (вогнута).

В точке перегиба, отделяющей промежуток выпуклости от промежутка вогнутости, вторая производная функции изменяет свой знак, поэтому в таких точках вторая производная функции или обращается в нуль, или не существует.

Теорема 5(достаточный признак точки перегиба)

Если в точке х = х₀ или не существует и при переходе через эту точку производная меняет знак, то точка с абсциссой х = х₀ кривой - точка перегиба.

Пример 5. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой (кривая Гаусса).

Решение. Находим первую и вторую производные:

.

следовательно .

Числовые промежутки	(-∞; -1)	-1	(-1; 0)		(0; 1)		(1; +∞)
Знаки производной:	+		+		-		-
Поведение функции:		-		-
Знаки второй производной:	+		-		-		+
Поведение функции:

х = -1, х = 1 точки перегиба.