Дифференциал длины дуги и кривизна плоской линии.

Дифференциал ds длины дуги s плоской линии, заданной уравнением y = f(x), выражается формулой

.

Если линия задана уравнением , то .

В случае параметрического задания линии уравнениями

.

Если линия задана в полярной системе координат уравнением

.

Задача 4. Найти дифференциал длины дуги циклоиды, заданной уравнениями: .

Решение. Имеем: . Тогда

.

Определение 1. Кривизной К любой плоской линии в точке М называется предел модуля отношения угла между положительными направлениями касательных в точках М и N линии (угла смежности) к длине дуги , когда , т.е. по определению

,

где a - угол наклона

касательной в точке

М к оси Ох.

Определение 2. Радиусом кривизныназывается величина R, обратная кривизне Клини, т.е. . Например, для окружности , где R – радиус окружности; для прямой К = 0. Для произвольной линии кривизна не является величиной постоянной.

Если линия задана уравнением y = f(x), то кривизна в любой ее точке вычисляется по формуле

.

В случае параметрического задания линии уравнениями для вычисления кривизны применяется формула

, где производные берутся по переменной t.

Если линия задана в полярной системе координат уравнением , то

.

Задача 5. Найти кривизну и радиус кривизны линии в точке М(1; 1).

Вычислим значения первой и второй производных данной функции в точке М: . Тогда