Операции над матрицами.

1⁰. Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица С = (с_ij), элементы которой определяются равенством с_ij = a_ij + b_ij, (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции сложения матриц.

Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:

1) А + В = В + А (коммутативность),

2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С ( ассоциативность).

2⁰. Произведениемматрицы на число l называется матрица того же размера, что и матрица А, причем b_ij = l (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции умножения матрицы на число.

1. l×(mА) = (l×m)А (ассоциативность умножения);

2. l(А+В) = lА+lВ (дистрибутивность умножения относительно сложения матриц);

3. (l+m)А = lА+mА (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).

Определение 7. Линейной комбинацией матриц и одинакового размера называется выражение вида a×А+b×В, где a и b - произвольные числа.

3⁰_. Произведением А×В матриц А и В соответственно размеров m´n и n´k называется матрица С размера m´k, такая, что элемент с_ij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В, т.е. с_ij = a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ikb_kj.

Произведение АВ существует, только в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц:

1. (А×В)×С = А×(В×С) (ассоциативность);

2. (А+В)×С = А×С+В×С (дистрибутивность относительно сложения матриц);

3. А×(В+С) = А×В+А×С (дистрибутивность относительно сложения матриц);

4. А×В ¹ В×А ( не коммутативность).

Определение 8.Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими или перестановочными.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Определение 9. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции:

1. Перемена местами двух строк (столбцов).

2. Умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Определение 10.Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований называется эквивалентной (обозначается В~А).

Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2А–3В, если

, .

Решение:

, ,

.

Пример 1.2. Найти произведение матриц , если

.

Решение: т.к количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы, то произведение матриц существует. В результате получаем новую матрицу , где

В результате получим .