Обчислення обєму тіла за допомогою поверхневого інтегралу

Нехай тіло обмежено гладкими поверхнями:

і циліндричною поверхнею , твірна якої паралельна осі OZ(рис.3).

З геометричного змісту подвійного інтегралу витікає, що

,

де .

Отримана формула для обчислення обєма має місце для тіл, які можливо розбити на частки виду, представленого на рис.3 (циліндричні тіла І типу), за допомогою циліндричних поверхонь з твірною, паралельною осі OZ.

Рис.3.

Для циліндричніх тіл ІІ типу (ІІІ типу) з твірною, паралельною осі OХ (ОУ) мають місце формули для обчислення обєму:

.

Якщо тіло є одночасно циліндричним тілом І, ІІ і ІІІ типу, то для обчислення його обєму мають місце всі три формули. Якщо ці формули скласти почленно, отримаємо загальну формулу для обчислення обєму:

,

де інтеграл береться по зовнішній стороні поверхні .