Определения. Общее, частное, особые решения.

Определения:

1. Уравнение, связывающее искомую функцию, её производные или дифференциалы, и аргументы, называется дифференциальным.
2. Наивысший порядок производной или дифференциала в записи уравнения называется порядком этого уравнения.
3. Решением дифференциального уравнения называется любая функция, если она и её производные или дифференциалы, будучи подставлены в уравнение, превращают его в тождество.
4. Дифференциальные уравнения относительно функции одной переменной (нескольких переменных) называются обыкновенными (в частных производных).

Пример 1.

а) - уравнение в частных производных второго порядка;

б) - обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

в) - обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.

З а м е ч а н и е 1. В дальнейшем под словом уравнение будем понимать только обыкновенное дифференциальное уравнение.

Пример 2. Найти решения уравнений

а)

(1)

Решение (1) уравнения первого порядка зависит от одной произвольной постоянной С, т.е. при различных значениях С получим разные решения. Теперь, для определения С, зададим одно дополнительное условие ( начальные данные):

Отсюда из (1)следует:

б)

(2)

Решение (2) уравнения 2- го порядка зависит от двух произвольных постоянных С₁ и С₂ необходимо задать уже два условия: . Отсюда

.

Геометрически решения (1) и (2) – семейство парабол. Задание начальных данных означает: из семейства парабол найти такую, которая в случае:

а) проходит через т.

б) проходит через т таким образом, чтобы угловой коэффициент касательной в т. равнялся .