Основные теоремы о пределах

Proof:

Пусть переменная имеет два (различных, конечных) предела a и b. Пусть, например, a<b.

Тогда, по определению предела:

, (1)

. (2)

Выберем в качестве номера , тогда неравенства (1) и (2) выполняются.

Пусть (такой выбор возможен, т.к. ε – любое, сколь угодно малое, положительное число).

Тогда переменная попадает в две непересекающиеся «ε-окрестности» т. a и т. b, что невозможно.

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Note 1

Дома или на п/з доказать: Если (начиная с некоторого номера) выполняется неравенство и и , то .

Proof:

Def.	Числовая последовательность называется сходящей, если она имеет конечный предел.

Def.	Числовая последовательность называется ограниченной, если , такое, что для выполняется неравенство .

Пусть числовая последовательность сходится. Это значит, что для . Т.е. бесконечное множество членов последовательности попадает в «ε-окрестность» точки а, или лишь конечное число членов последовательности находится вне ее.

Пусть , тогда неравенство выполняется при .

Т. 4.

(Теорема о сжатой переменной или «правило двух милиционеров») Пусть, начиная с некоторого номера n выполняется двойное неравенство . Пусть и , тогда .

Proof:

, (1)

. (2)

Выберем в качестве .

Тогда неравенства (1) и (2) – выполняются.

Учитывая, что ,

,

и, оставляя левую часть первого неравенства и правую часть второго, получим

или

,

, что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Графически это можно изобразить так.

Proof:

Пусть числовая последовательность монотонно возрастает (в строгом смысле), т.е.

.

Пусть M – одна из верхних границ (очевидно, что таких верхних границ найдется бесконечное множество).

Пусть – точная верхняя грань множества .

Докажем, что и есть предел переменной , т.е.

.

Так как неравенство

,

то необходимо доказать, что, для .

Левая часть неравенства выполняется, т.к. по условию теоремы монотонно возрастает.

Правая часть неравенства очевидна, т.к. M* – точная верхняя грань множества , ч.т.д.