Определение реакции линейной многомерной управляемой системы с помощью преобразования Лапласа.

Одной из важных задач анализа является определение реакции многомерной управляемой системы на входной сигнал.

Дано: Модель типа «вход – состояние – выход»

, (1)

. (2)

Известно управление u (t) для t>t₀ и начальное состояние x(t₀)=x_0.

Найти: Выходной сигнал у(t), t>t_0.

Решим эту задачу с помощью преобразования Лапласа. Пусть t₀=0.

Преобразуем по Лапласу уравнение (1). Все теоремы о преобразовании Лапласа скалярных величин справедливы и для векторных величин.

Используя теорему линейности, получаем

.

Обозначим преобразование Лапласа вектора состояния и преобразование Лапласа управления .

Используя теорему об изображении производной

получаем

, (*)

где I – единичная матрица ( ).

Введем в рассмотрение резольвенту , матрицу ( ). Умножая слева уравнение (*) на резольвенту, получаем изображение по Лапласу вектора состояния

.

Определяя обратное преобразование Лапласа, находим решение уравнения (1):

.

Если учтем, что - матричная экспонента и воспользуемся теоремой об изображении свертки двух функций, получим

. (**)