Система с внешним шумом на входе

Рассмотрим второй случай, когда некоррелированный внешний шум присутствует только в измерениях входного процесса , не проходя при этом через систему (рисунок 2.4).

– наблюдаемый входной процесс; – наблюдаемый выходной процесс; – ненаблюдаемый истинный входной процесс;

– ненаблюдаемый входной шум

Рисунок 2.4 – Система с внешним шумом на входе

Предполагаем также, что все процессы в системе относятся к стационарным, а их средние значения равны нулю

.

Наблюдаемая реализация входного процесса принимает вид

, (2.37)

где – ненаблюдаемый истинный входной процесс;

– ненаблюдаемый некоррелированный входной шум.

Наблюдаемый входной спектр мощности с учетом некоррелированности и и выражения (2.37) состоит из суммы

. (2.38)

Поскольку внешний шум через систему не проходит, то справедливо равенство

. (2.39)

Для вывода выражения для взаимного спектра мощности наблюдаемых процессов на входе и выходе системы рассмотрим произведение мгновенных значений процессов в два различных момента времени

,

откуда

,

, (2.40)

где – взаимная спектральная плотность истинных процессов на входе и выходе системы.

Рассмотрим произведение функции когерентности между процессами и и наблюдаемым входным спектром:

.

Учитывая равенства (2.38), (2.39), получим:

,

что соответствует спектру ненаблюдаемого истинного входного процесса .

Произведение в правой части равенства

, (2.41)

носит название когерентного спектра входного процесса.