Система с внешним шумом на выходе

Рассмотрим систему, в которой некоррелированный внешний шум присутствует только на ее выходе (рисунок 2.3). Предполагаем, что все процессы в системе относятся к стационарным, а их средние значения равны нулю

.

Наблюдаемая реализация выходного процесса примет вид

, (2.28)

где – ненаблюдаемый истинный выходной процесс;

– ненаблюдаемый некоррелированный выходной шум.

– наблюдаемый входной процесс; – наблюдаемый выходной процесс; – ненаблюдаемый истинный выходной процесс;

– ненаблюдаемый выходной шум

Рисунок 2.3 – Система с внешним шумом на выходе

Произведение мгновенных значений наблюдаемого выходного процесса в два различных момента времени равно

,

откуда после усреднения получим следующее соотношение для ковариационных функций:

. (2.29)

В силу не коррелированности шума имеем

. (2.30)

В результате преобразования Фурье над выражением (2.29) с учетом (2.30) наблюдаемый выходной спектр мощности системы примет вид суммы идеального линейного выхода , порожденного преобразованием посредством , и шума на выходе , т.е.

, (2.31)

где – спектр мощности истинного (полезного) выходного процесса.

Для взаимной спектральной плотности наблюдаемых процессов на входе и выходе аналогично получим:

,

,

, (2.32)

где – взаимная спектральная плотность истинных процессов на входе и выходе системы.

Таким образом, согласно выражениям (2.31), (2.32), наблюдаемый выходной спектр мощности дает смещенную оценку истинного выходного спектра , а наблюдаемый взаимный спектр – несмещенную оценку .

Учитывая это, можно рассчитать спектральную плотность ненаблюдаемого истинного выходного процесса через регистрируемые процессы:

Произведение в правой части равенства

(2.33)

носит название когерентного спектра выходного процесса.