Спектральный анализ идеальной системы

Рассмотрим идеальную систему с импульсной характеристикой и частотной характеристикой . На вход системы поступает реализация стационарного эргодического случайного процесса с нулевым средним значением, а на выходе после затухания переходных процессов формируется реализация стационарного процесса .

Рассчитаем произведение мгновенных значений процессов на входе и выходе системы и в два различных момента времени с использованием интеграла свертки (2.4):

. (2.20)

Выполнив операцию усреднения над обеими частями равенства (2.20)

,

получим соотношение для взаимной ковариационной функции входного и выходного процессов в системе:

. (2.21)

Применим прямое преобразование Фурье к соотношению (2.21) и учтем выражения для спектральных плотностей (1.33), (1.35):

Аналогичные вычисления проведем и для произведения мгновенных значений выходного процесса системы в два различных момента времени:

. (2.22)

После усреднения выражения (2.22) получим

. (2.23)

Прямое преобразование Фурье над соотношением (2.23) дает

Таким образом, основные спектральные соотношения для идеальной системы, связывающие между собой спектральные плотности на входе и выходе системы, имеют вид:

(2.24)

Первое из выражений (2.24) является комплексным и называется соотношением для взаимных спектральных плотностей входного и выходного процессов системы, второе выражение – действительным и называется соотношением между спектральными плотностями входного и выходного процессов.