Дисперсия ряда распределения и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Показатели центральной тенденции (М0,Ме, ) не исчерпывают всех свойств распределения. В одних случаях значения признака концентрируются тесно около среднего значения, в других наблюдается значительное рассеяние.
Для изучения степени изменчивости признака вводят показатели вариации:
– размах вариации W=xmax-xmin. (9.15)
- дисперсия дискретного ряда распределения
(9.16)
характеризует средний квадрат отклонения хi от .
Среднее квадратическое отклонение дискретного ряда распределения:
, (9.17)
выражается в тех же единицах, что и хi.
Среднее линейное отклонение:
. (9.18)
Коэффициент вариации:
, (9.1.9)
характеризует относительное значение среднего квадратического отклонения и обычно служит для сравнения колеблемости несоизмеримых показателей.
Свойства дисперсии:
1.Дисперсия постоянной величины равна 0
D*(C)=0.
2.Если все результаты наблюдений увеличить (уменьшить) на одно и то же число С, то дисперсия и среднее квадратическое отклонение не изменятся, т.е.
, (9.20)
3.Если все результаты наблюдений умножить на одно и то же число, то имеет место равенство:
, (9.21)
4.Если все частоты вариантов умножить на одно и то же число, то дисперсия и среднее квадратическое отклонение не изменятся.
5.Свойство минимальности дисперсии.
при
Следствие 1. Средний квадрат отклонений значений xi от их средней арифметической равен среднему квадрату отклонений xi от произвольной постоянной а минус квадрат разности между средней арифметической ( ) и этой произвольной постоянной.
Пусть , тогда
. (9.22)
Следствие 2. Дисперсия равна средней арифметической из квадратов значений признака минус квадрат средней арифметической
.
6.Правило сложения дисперсий. Если объединяются несколько распределений в одно, то общая дисперсия σ0*2 нового распределения равна средней арифметической из дисперсий объединяемых распределений, сложенной с дисперсией частных средних относительно общей средней нового распределения. Или, иначе говоря, общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий :
(9.23)
или
где nij – частота j–го варианта i-го частного распределения (j=1,…, m; i=1,2,…, к)
xij – j–й вариант i-го частного распределения (j=1,…, m; i=1,2,…, к),
ni – объем i-го частного распределения,
– частота j-го варианта нового распределения,
- объем нового распределения,
средняя арифметическая i-го частного распределения, (i=1,...,к),
средняя арифметическая нового распределения,
дисперсия i-го частного распределения,
внутригрупповая дисперсия,
- межгрупповая дисперсия.
Дата добавления: 2015-08-11; просмотров: 2159;