Закон распределения функции случайных величин.

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией плотности вероятности f(x). Другая случайная величина Y связана со случайной величиной X функциональной зависимостью: Y=φ(X). Случайная точка (X, Y) может находиться только на кривой y=φ(x).

Дифференциальная функция случайной величины Y определяется при условии, что φ(x) - монотонна на интервале (a, b), тогда для функции φ(x) существует обратная функция: φ^-1=Ψ, х = Ψ(y).

Обычно числовая прямая разбивается на n промежутков монотонности и обратная функция находится на каждом из них, поэтому:

, (5.1)

g(y) - дифференциальная функция случайной величины Y.

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y – функции случайной величины X(Y=j(Х)), имеющей дифференциальную функцию f(x), можно определить по формулам:

(5.2)

. (5.3)

Пример. Случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием а и дисперсией s², то есть дифференциальная функция имеет вид:

Найти дифференциальную функцию случайной величины Y=X²

Решение. На (0;¥) , для y=x², обратная функция x= = y₁;

на (- ¥;0) - обратная функция x= - = y_{2 .} По формуле (5.1):

g(y)= =

=

При a=0 и s=1: .